Bestimmen der Determinante n*n-Diagonalmatrix mit 1-en durch Induktion über n

Question

\( \left(\begin{array}{cccc}{000} & {\ldots} & {001} \\ {000} & {\ldots} & {010} \\ {000} & {\ldots} & {100} \\ {\cdot} & {} & {} \\ {\cdot} & {} & {} & {\cdot} \\ {001}  & {\ldots} & {000} \\ {010}  & {\ldots \ldots \ldots} & {000} \\ {100} & {\ldots \ldots \ldots} & {000}\end{array}\right) \)

Ich muss die Determinate der folgenden n x n Matrizen durch Induktion über n:

Ich hab das probiert.

Behauptung: Alle Matrizen mit einer 1 in der Diagonalen, haben als Determinate die 1.

I.A.: n = 1: det (A) = 1; ( ist ja einfach)

I.S,: n = 2: det (A) = -1;

- nach einer Zeile oder Spalte entwickeln

- Vorzeichenschema für Laplaceschen Entwicklungssatz: Schachbrettmuster

Also, haben als Determinate die 1: wechselt sich das Vorzeichen durch Schachbrettmuster.

Aber habe ich Problem, wie soll ich das Beweis nach n.

Könnt ihr mich die Tipps oder Ansatz geben?

Danke

Comments

Die Behauptung scheint so nicht zu stimmen, denn es gilt

\( \operatorname{det}\left(\begin{array}{lll}{0} & {0} & {I} \\ {0} & {I} & {0} \\ {I} & {0} & {0}\end{array}\right)=-I \)

Die Matrix hat aber auf der Hauptdiagonalen eine 1.

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ja stimmt: n = 3 => -1

n = 4 => 1

n = 5 => 1

n = 6 => -1

n = 7 => -1

n = 8 => 1

n = 9 => -1

Es ist nur verschiedenen Vorzeichen! Aber wie kann man beweisen... hm...

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Musst du das unbedingt mit Induktion zeigen?

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ja, es steht die Aufgabenstellung: "Bestimmen Sie die Determinaten der folgenden n x n Matrizen durch Induktion über n"

 

Also, muss ich das mit Induktion zu zeigen.. Richtig? hm

Answer 1

Behauptung:

\( \operatorname{det}\left(A_{n}\right)=(-1)^{\frac{n^{2}-n}{2}} \)

Beweis per Induktion über n.

Induktionsanfang: det(A1) = 1 = (-1)0.

Induktionsvoraussetzung: Es gebe ein  n ∈ ℕ, für welches die Behauptung wahr ist.

Induktionsschritt: Zu zeigen ist, dass die Behauptung für  n + 1  gilt.

Entwicklung nach der ersten Zeile liefert nach Induktionsvoraussetzung

\( \operatorname{det}\left(A_{n+1}\right)=(-1)^{1+n+1} \cdot \operatorname{det}\left(A_{n}\right)=(-1)^{n} \cdot(-1)^{\frac{n^{2}-n}{2}} \\ =(-1)^{\frac{n^{2}+n}{2}}=(-1)^{\frac{(n+I)^{2}-(n+I)}{2}} \)

Comments

Woher hast du die Formel her?

\( \operatorname{det}\left(A_{n}\right)=(-1)^{\frac{n^{2}-n}{2}} \)

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Du hast bereits bemerkt, dass  det(A_n) ∈ {-1,1}  sein muss. Sieht man genauer hin, stellt man fest, dass die Folge  {det(A_n)}_n>0  möglicherweise periodisch ist. Die Sequenz  {1,-1,-1,1}  scheint sich zu wiederholen. Die oben angegebene Formel für  det(A_n)  liefert für  n > 0  gerade diese Folge. Das rechnet man nach, indem man  n = 4·m + r  mit  m ∈ ℕ  und  r ∈ {0,1,2,3}  setzt. Damit hat man eine Vermutung für die Lösung des Problems. Der Beweis erfolgt dann durch Induktion.

Answer 2

Ich benutze An, An-1, … für deine Matrizen.

Det A1 = 1

Det A2 = -1 

Nach Entwicklungssatz von Laplace gilt (Entwicklung nach 1. Spalte)

Det A2 = (-1)^3 Det A1

Allg:

Det An = (-1)^{n+1} Det An-1

           = (-1)^{n+1} * (-1)^n * (-1)^{n-1} ..... *(-1)^3* 1

                   |Exponenten von -1 bilden arithmetische Reihe. 

                  |Summe: (n+1+3)(n+1-3+1)/2 = (n+4)(n-1)/2

                   | = (n^2 + 3n -4)/2 = (n^2 +3n)/2 -2

                  |-2 kann man noch weglassen

           = (-1)^ (n*(n+3)/2) 

Beweis.

Verankerung vgl. oben. n=2

Ind. Schritt. Zu Zeigen : Det An+1 = (-1)^ ((n+1)(n+4)/2)

                                = (-1)^ (n^2 + 5n + 4) / 2) = (-1)^{0.5n^2 + 2.5n + 2}

Bew: Det An+1 = (-1)^ (n+1+1) * Det An

= (-1)^ (n+2)* (-1)^ (n*(n+3)/2)

=(-1)^ (n+2 + 0.5 n^2 + 1.5n) = (-1)^{0.5n^2 + 2.5n +2}

 

 

Comments

Ich sitze auch gerade an der Aufabe und habe mal ein paar Zahlen zur Probe in deine pink unterlegte Formel eingegeben. Bei deiner Formel ist die Reihenfolge der Determinanten -1,1,-1,1 ... Aber wie oben schon in den Kommentaren steht müsste es ja eigentlich 1,-1,-1,1,1,-1,-1 ... sein?

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Gemäss WolframAlpha kommt bei dieser Formel das von dir gewünschte raus:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=table+of+%28-1%29%5E%28n%28n%2B3%29%2F2%29++

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Ich meinte die von dir markierte Formel.

(-1)^{0,5n^2+2,5n+2}

Wenn man dort Zahlen eingibt, ist das Ergebnis 1,-1,1,-1 ...

Die Formel hast du doch gezeigt?!

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Das ist die Formel für An+1 und wie gewünscht um 1 verschoben:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=table+of++%28-1%29%5E%28%28n%5E2+%2B+5n+%2B+4%29%2F2%29

Man muss bei Induktionsbeweisen jeweils den Übergang von n noch n+1 beweisen.