Funktion 6. Grades selbst erstellen

Question

Hallo liebe Nutzer,

ich bräuchte Hilfe, da ich schon am verzweifeln bin und überhaupt nicht weiterkomme! Wir haben eine Aufgabe bekommen, die lautet:

''Erstellen Sie eine Funktion 6. Grades, die die folgenden 5 verschiedenen Nullstellen aufweist: -2, -1, 0, 1 und 2. Genau eine Nullstelle soll eine doppelte Nullstelle sein. Zur Nullstellenberechnung der Funktion müsste man den Satz vom Nullprodukt sowie die Polynomdivision verwenden.''

Vielleicht bin ich zu blöde und es ist gar nicht so kompliziert, wie ich denke, aber ich arbeite an dieser Aufgabe schon seit 2 Tagen und komme überhaupt nicht voran. Den Lehrer dürfen wir leider auch nicht fragen. Ich hoffe, ihr könnt mir da irgendwie helfen, ihr wärt meine Rettung! und liebe Grüße,

Sarah

Comments

Gehst du in Hamburg zur Schule ?

Answer 1

'Erstellen Sie eine Funktion 6. Grades, die die folgenden 5 verschiedenen
Nullstellen aufweist: -2, -1, 0, 1 und 2. Genau eine Nullstelle soll eine
doppelte Nullstelle sein.

f ( x ) = ( x + 2 ) * ( x + 1) * x * ( x - 1 ) * ( x - 2 )

Die Funktion sieht reichlich symmetrisch aus.

Damit das auch so bleibt dürfte x = 0 eine doppelte Nullstelle sein.

f ( x ) = ( x + 2 ) * ( x + 1) * x * x * ( x - 1 ) * ( x - 2 ) ;

Comments

Nachtrag
f ( x ) = ( x + 2 ) * ( x + 1) * x * ( x - 1 ) * ( x - 2 )  | 5.Grad

Du kannst jeden Faktor zum Qudrat erheben und erhältst
dann die gewünschte Funktion.

Answer 2

Gehst du in Hamburg zur Schule?

Bitte nutzte meine Vorgehensweise nur als Ansatz. Wähle also z.B. eine andere Doppelte nullstelle, wähle zusätzlich einen konstanten Faktor und fasse anders zusammen. Sonst gibt die ganze Klasse nachher die gleiche Lösung ab und das wollen wir ja nicht oder?

Eine Funktion die bekannte Nullstellen enthält, kann man in der faktorisierten Form aufschreiben. Z.B. eine Funktion mit den Nullstellen N1, N2 und N3 kann geschrieben werden als y = (x - N1)*(x - N2)*(x - N3). Doppelte Nullstellen tauchen dabei einfach 2 mal als Faktor auf.

Damit kann ich für meine Funktion generell schreiben:

y = (x + 2)·(x + 1)·x·(x - 1)^2·(x - 2)

Hier existieren also die geforderten Nullstellen, wobei x = 1 eine doppelte Nullstelle ist.

Nun schreibe ich den Term anders auf und multipliziere Klammern aus um die Gleichung schwieriger zu machen.

y = x·(x - 1)^2·(x + 1)·(x - 2)·(x + 2)

y = x·(x^2 - 2·x + 1)·(x + 1)·(x^2 - 4)

y = x·(x^2 - 2·x + 1)·(x^3 + x^2 - 4·x - 4)

Damit könnte die Gleichung wie folgt lauten:

x·(x^2 - 2·x + 1)·(x^3 + x^2 - 4·x - 4) = 0