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Funktionsgleichung aus 2 Punkten ermitteln
Um die Funktionsgleichung einer Geraden zu ermitteln, wenn man nur zwei Punkte kennt, verwendet man die Formel für eine Gerade in der Punktsteigungsform oder direkt die Zwei-Punkt-Formel. Die allgemeinste Form einer Geradengleichung ist \(y = mx + b\), wobei \(m\) die Steigung der Gerade und \(b\) der y-Achsenabschnitt ist.
Angenommen, Sie haben zwei Punkte gegeben: \(P_1(x_1, y_1)\) und \(P_2(x_2, y_2)\).
Schritt 1: Steigung \(m\) berechnen
Zuerst berechnet man die Steigung \(m\) mit der Formel:
\(
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
\)
Schritt 2: Y-Achsenabschnitt \(b\) berechnen
Sobald die Steigung \(m\) bekannt ist, kann man \(b\), den y-Achsenabschnitt, berechnen. Dies kann durch Einsetzen der Koordinaten eines der gegebenen Punkte in die Geradengleichung \(y = mx + b\) und durch Auflösen nach \(b\) geschehen.
Aus dem Einsetzen von \(P_1(x_1, y_1)\) folgt:
\(
y_1 = mx_1 + b
\)
Durch Umstellen nach \(b\) erhalten wir:
\(
b = y_1 - mx_1
\)
Schritt 3: Einsetzen von \(m\) und \(b\) in die Geradengleichung
Mit den Werten von \(m\) und \(b\) kann man nun die vollständige Funktionsgleichung schreiben:
\(
y = mx + b
\)
Beispiel
Gegeben seien die Punkte \(P_1(1, 2)\) und \(P_2(3, 4)\).
1.
Steigung berechnen
\(
m = \frac{4 - 2}{3 - 1} = \frac{2}{2} = 1
\)
2.
Y-Achsenabschnitt berechnen
Nehmen wir \(P_1(1, 2)\), um \(b\) zu finden:
\(
b = 2 - (1 \cdot 1) = 2 - 1 = 1
\)
3.
Funktionsgleichung einsetzen
\(
y = 1x + 1 \quad \text{oder einfach} \quad y = x + 1
\)
Daher lautet die Funktionsgleichung der Geraden, die durch die Punkte \(P_1\) und \(P_2\) verläuft, \(y = x + 1\).
