Abbildungen von Restklassen

Question

Abbildung von Restklassen nach Restklassen:

Eine Beispielaufgabe wäre:

Liefert {(2,4),(0,5),(1,5)} eine Abbildung von ℤ/3 nach ℤ/7 ?

Wie muss ich das jetzt verstehen? Stehen die Zahlen an erster Stelle in den runden Klammern für ℤ/3 und die an zweiter Stelle für ℤ/7 ??? In dem Fall wäre das eine Abbildung, oder?

Noch ein Beispiel:

Liefert {(0,5),(1,4),(2,3),(-3,-2)} eine Abbildung von ℤ/4 nach ℤ/6 ?

Bitte um Hilfe! :)

Answer 1

genau so sollst du das verstehen.

(2,4) bedeutet f(2) = 4, falls f die Zuordnung sein soll.

Das erste Beispiel ist eine Abbildung. Das zweite nicht.

Gruß

Comments

Also wären die Begründungen so?:

zu 1) Im Restklassenring von Z/3 sind die Zahlen von 0 bis 2 und von Z/7 die Zahlen von 0 bis 6 enthalten. Da im Definitionsbereich nur die Zahlen 0,1 und 2 und in der Zielfunktion die Zahlen 4 und zweimal die 5 enthalten sind, ist es eine Abbildung von Z/3 nach Z/7.

zu 2) Genau der selbe Anfang und dass die negativen Zahlen nicht in dem Restklassenring sein können.und dies somit keine Abbildung sein kann.

Stimmt das so?

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zu 1) ein wenig umfangreich, aber in Ordnung

zu 2) Das mit den negativen Zahlen ist hier nicht die Schwierigkeit. Die Abbildung hier wäre nicht für das Element 3 aus Z4 definiert. Je nachdem wie genau ihr seid kann dies gegen eure Definition der Abbildung sprechen.

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Wie meinst du das, dass 3 aus Z/4 nicht definiert wäre..? Z/4 ist doch gleich {0,1,2,3} oder?

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ja und bei dir steht am Ende (-3,-2) oder hast du dich verschrieben und es müsste (3,-2) da stehen.

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Also macht es doch was aus, wenn die Zahl statt +3  -3 ist. Meine Frage ist immer noch: Warum ist die -3 nicht in Z/4? Ich dachte, wenn die +3 in Z/4 ist dann auch -3..  bzw. so habe ich es verstanden, nachdem du mir gesagt hast, dass das Negative bezogen auf Restklassen nichts ändert. Bitte um eine deutlichen Antwort. Vielen Dank :) .

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-3 entspricht der Restklasse 1 in Z4, sowie -2 der Restklasse 4 in Z6 entspricht. Bitte klar machen.

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So langsam verstehe ich das..:

-3 - (1) = -4 und da -4 | 4 gilt, entspricht -3 der Restklasse 1 in Z/4..

-2 - (4) = -6 und da -6 | 6 gilt, entspricht -2 der Restklasse 4 in Z/6..

So...

Heißt das jetzt, dass 1 auf 4 abgebildet wird??? (1 ↦ 4)

Das heißt, dass die Restklassen immer positiv sein müssen..??

Bitte um Antwort. :)

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Das die 1 auf die 4 abgebildet wird steht da ja schon. (-3, -2) ist also eine Wiederholung der bestehenden Information.

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Stimmt das so...:
1.) 0≡4 mod 4   und  5≡11 mod 6 wird zu: 4↦11
2.) 1≡5 mod 4   und  4≡10 mod 6 wird zu: 5↦10
3.) 2≡6 mod 4   und  3≡9   mod 6 wird zu: 6↦9
4.) -3≡1 mod 4  und -2≡4   mod 6 wird zu: 1↦4
Somit wäre das eine Abbildung.

Ich bitte, falls nötig, um eine Korrektur. VIELEN DANK :)

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Wozu hast du denn jetzt andere Platzhalter genommen? Verstehst du die Aufgabenstellung eigentlich? Bzw. was eine Abbildung genau ist?

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Ich weiß, was eine Abbildung ist, aber habe Schwierigkeiten beim Verstehen der Aufgabe..

Es wäre wirklich sehr nett, wenn du den Anfang der Aufgabe machen würdest, damit ich es endlich verstehe.

VIELEN DANK.

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Anfang der Aufgabe?

Beispiel 1: Alle Elemente von Z3 werden eindeutig auf Elemente aus Z7 abgebildet.

Beispiel 2: Es werden fast alle Elemente von Z4 eindeutig auf Elemente aus Z6 abgebildet