Bestimmen Sie die von 3 erzeugte Untergruppe von (Zmod20,*) und geben sie die Linksnebenklassen an.

Question

Hallöchen :)

Ich habe grade durch ein paar Altklausuren gestöbert und bin dabei über diese Aufgabe gestolpert.

Bestimme die von 3 erzeugte Untergruppe von (Zmod20, *)  und geben sie alle Linksnebenklassen dieser Untergruppe an.

So die UG, die ich zu 3 bestimmt habe enthält (3,9,7,1)

nun mein Problem mit den Linksnebenklasen. Eine Linksnebenklasse erhalte ich nach meinem Verständnis, wenn ich ein Element aus der Gruppe von links mit den Elemente der Untergruppe verknüpfe, so erhalte ich z.B mit 2 die Nebenklasse (6,18,14,2).

Ich müsste also 5 disjunkte 4elementige Nebenklassen erhalten.Ich bekomme auch 4 solcher Nebenklassen raus (3,9,7,1)(6,18,14,2)(12,16,8,4)(13,19,17,11)

Wenn ich allerdings die Nebenklasse zum Element 5 bilde, erhalte ich (15,5). Also nicht 4 elementig ?!

Zum Element 10 erhalte ich (10) und um alle Element zu erhalten müsste ich noch die Nebenklasse der 0 angeben?

Ich dachte Nebenklassen hätten immer die gleiche Ordung wie die dazugehörige UG. Irrglaube oder wo liegt mein Fehler?

Ich hoffe ihr könnt mir auf die Sprünge helfen.

Lg Mango

Answer 1

Du kannst die ganze Gruppe in disjunkte Klassen zerlegen.
Die müssen aber nicht unbedingt gleich viele Elemente haben.

Mit deiner Klasse 5; 15 und der 10 und der 0 hast du doch alles wunderbar zerlegt.

Comments

OK, hatte da was aus dem satz von lagrange im kopf gehabt, aber der hat ja eig nix damit zutun ^^, danke für die Aufklärung (y) LG