Zeige anhand \( G=\mathscr{A}_{4} \), dass es nicht zu jedem positiven Teiler der Gruppenordnung eine Untergruppe dieser Ordnung geben muss.
Problem/Ansatz:
Ist meine Überlegung so richtig?
Die Elemente von \( \mathscr{A}_{4} \) sind:
1. Die Identität \( e \).
2. Drei 2-Zykel: (12), (13), (14).
3. Vier 3-Zykel: (123), (124), (134), (234).
4. Drei Produkte von zwei Transpositionen: (12)(34), (13)(24), (14)(23).
Zusammen genommen bilden diese 12 Elemente die Gruppe \( \mathscr{A}_{4} \). Jedes Element repräsentiert eine Permutation von \( \{1,2,3,4\} \), wobei diese Permutationen gerade sind, d.h., sie können als Produkte einer geraden Anzahl von Transpositionen dargestellt werden.
Die Gruppe \( \mathscr{A}_{4} \) ist die Alternierende Gruppe der symmetrischen Gruppe \( S_{4} \) und hat die Ordnung \( \left|\mathscr{A}_{4}\right|=12 \). Zuerst betrachtet man die möglichen Ordnungen von Untergruppen in \( \mathscr{A}_{4} \), die durch den Satz von Lagrange begrenzt sind: Die Ordnung einer Untergruppe \( H \) von \( \mathscr{A}_{4} \) muss ein Teiler der Gruppenordnung sein, d.h., \( |H| \) muss ein Teiler von 12 sein.
Die möglichen Teiler von 12 sind 1, 2, 3, 4, 6 und 12 .
1. Triviale Untergruppe: Die triviale Untergruppe \( \{e\} \) hat immer die Ordnung 1.
2. Zyklische Untergruppen der Ordnung 2: Da es keine Elemente der Ordnung 2 in \( \mathscr{A}_{4} \) gibt, existieren keine zyklischen Untergruppen der Ordnung 2 in dieser Gruppe.
3. Untergruppen der Ordnung 3: Es gibt Elemente der Ordnung 3 in \( \mathscr{A}_{4} \), z.B. 3-Zykel wie (123), (124), (134), die gerade Permutationen sind und somit Untergruppen der Ordnung 3 erzeugen.
4. Untergruppen der Ordnung 4: 4 ist ein Teiler der Gruppenordnung, aber es existieren keine Untergruppen der Ordnung 4. Ein Beispiel für einen 4-Zykel ist (1234) (wobei (1234) bedeutet, dass 1 auf 2, 2 auf 3,3 auf 4 und 4 auf 1 abgebildet wird). Allerdings ist (1234) eine ungerade Permutation, da sie drei Transpositionen enthält: (12)(23)(34). Da (1234) eine ungerade Permutation ist, liegt sie nicht in der Gruppe \( \mathscr{A}_{4} \), sondern in der komplementären Gruppe \( \mathscr{S}_{4} \) der ungeraden Permutationen von \( S_{4} \).
5. Untergruppen der Ordnung 6: Es gibt genau eine Untergruppe der Ordnung 6, die isomorph zur zyklischen Gruppe \( \mathbb{Z}_{6} \) ist, und sie wird von einem Element der Ordnung 3 erzeugt, z.B. einem 3-Zykel in \( S_{4} \), der eine gerade Permutation ist und somit in \( \mathscr{A}_{4} \) liegt.
6. Die gesamte Gruppe \( \mathscr{A}_{4} \) ist eine Untergruppe der Ordnung 12.
