Die möglichen Gruppenordnungen hast du ja schon.
Bei G1 (und auch bei allen anderen) ist eine Untergruppe
der Ordnung 1 immer die aus dem neutralen Element allein
bestehende Untergruppe ( {0} , + ).
Und die mit 9 Elementen ist die Gruppe selbst.
3-er Untergruppen erhält man durch die
von der 3 erzeugte Untergruppe mit der Menge {0,3,6}.
Das ist auch wohl die einzige Möglichkeit denn:
Wenn die z.B. 1 enthalten ist, bekommst du durch
fortgesetzte Addition die ganze Gruppe.
Wenn die z.B. 2 enthalten ist, bekommst du durch
fortgesetzte Addition irgendwann 10=1 also
wieder die ganze Gruppe.
Wenn die z.B. 4 enthalten ist, bekommst du durch
Addition 8=-1 also (Da auch das Inverse in der
Untergruppe sein muss wieder 1 und damit
wieder die ganze Gruppe. etc.
Bei G2 geht es ja wohl um die Restklassen mod 13 ohne die 0
bezüglich Multiplikation.
Für Ordnungen 1 und 12 dürfte es klar sein.
Außerdem ist G2 zyklisch (Potenzen von 2)
und damit bekommst du auch nur zyklische Untergruppen
hier also von 2 , 3 , 4 oder 6 Elementen.
Für ord=2 brauchst du neben dem neutralen Element ein davon
verschiedenes Element, dass zu sich selbst invers ist,
für das also gilt x*x=1 . Das wäre etwa für x=-1=12 der Fall,
also ist ( {1,12},*) so eine Gruppe.
etc.
