Frage zu Gruppen und Untergruppen, Beweis

Question

Hallo :)

wir haben folgende Aufgabe bekommen:

Gegeben ist eine Gruppe G mit einer Verknüpfung ° und einem neutralen Element e. A und B sind Untergruppen von G. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

a) A∩B = {e}

b) AxB -> G

   (a,b) -> a°b ist injektiv

Also injektiv heißt ja, in G gibt es höchstens ein Element, auf das zwei bestimmte Elemente aus A und B abbilden. Aber wir zeige ich jetzt, dass die nur das neutrale Element sein kann? Und vor allem wie schreibt man das formal korrekt?

:)
Liebe Grüße

Answer 1

Also seinen A,B Untergruppen von G und

A∩B = {e}

Und die Abbildung

b) f :  AxB -> G

         (a,b) -> a°b

nenne ich mal f. Bleibt zu zeigen:

f ist Injektiv.

Seien also  (a,b) und (c,d) aus AxB mit 

               f(a,b)  =  f(c,d). 
Also     a°b  =  c°d .  

a besitzt in A ein Inverses a^-1 , also gilt

a^-1   ° (a°b  )   =       a^-1  ° (c°d  )  

Da ° assoziativ ist 

  ( a^-1   ° a   ) °b    =      ( a^-1  ° c  )  °d    ##und entsprechend mit  d^-1 gibt es :

  ( a^-1   ° a   ) °( b °  d^-1  )=      ( a^-1  ° c  )  °(d ° d^-1 )

also     b °  d^-1  =     a^-1  ° c  #

Nun sind b und d beide in B , also auch  d^-1  in B und

somit auch   b °  d^-1  .   Entsprechend    a^-1  ° c   in A.

Also wegen #  beide in A∩B  also beide = e.

Dann besagt  ## aber   b=d .  Entsprechend, wenn man 

    a°b  =  c°d .     zunächst ( von rechts ) mit  d^-1  multipliziert:

   a°  (  b   ° d^-1 )   =  c     also auch a=c. 

Damit hat man insgesamt:

    f(a,b)  =  f(c,d)     ⇒      (a,b)  =  (c,d). 

Also f Injektiv.

Comments

Ach so, Rückrichtung:

f Injektiv, also  für alle (a,b) , ( c,d) aus  AxB gilt

f(a,b) = f(c,d)   ⇒      (a,b)  =  (c,d).  

Sei nun x ∈  A ∩ B.  

Dann gilt      x = x

                 e*x = x*e

                f(e,x) = f( x,e)  

 ⇒            e=x  und   x=e  (wegen der Injektivität.)