Aufgabe:
Sei die Gruppe \(G = (M, \star)\) mit \(M=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}\) durch folgende Gruppentafel gegeben:
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \star & {\mathbf{a}} & {\mathbf{b}} & {\mathbf{c}} & {\mathbf{d}} & {\mathbf{e}} & {\mathbf{f}} & {\mathbf{g}} & {\mathbf{h}} \\ \hline \mathbf{a} & {a} & {b} & {c} & {d} & {e} & {f} & {g} & {h} \\ \hline \mathbf{b} & {b} & {c} & {d} & {a} & {h} & {e} & {f} & {g} \\ \hline \mathbf{c} & {c} & {d} & {a} & {b} & {g} & {h} & {e} & {f} \\ \hline {\mathbf{d}} & {d} & {a} & {b} & {c} & {f} & {g} & {h} & {e} \\ \hline {\mathbf{e}} & {e} & {f} & {g} & {h} & {a} & {b} & {c} & {d} \\ \hline {\mathbf{f}} & {f} & {g} & {h} & {e} & {d} & {a} & {b} & {c} \\ \hline {\mathbf{g}} & {g} & {h} & {e} & {f} & {c} & {d} & {a} & {b} \\ \hline {\mathbf{h}} & {h} & {e} & {f} & {g} & {b} & {c} & {d} & {a} \\ \hline\end{array}
a) Bestimmen Sie für die Elemente \(c\) und \(d\) die Ordnung und das inverse Element.
b) Geben Sie alle Untergruppen von \(G\) mit zwei Elementen an. Gibt es eine Untergruppe mit drei Elementen?
Problem/Ansatz:
a) Neutrales Element ist \(a\), weil jeweils \(a\star x=x\). Also das Inverse von \(c\) ist das, welches auf \(a\) abbildet: \(c\star c=a\). Z ist demnach \(c\) zu sich selbst invers. Dann noch \(d\): \(d\star b = a\), also ist \(b\) das Inverse von \(d\).
Nun meine Frage: Wie kriege ich nun die Ordnung der beiden Elemente heraus und woher weiß ich, ob es Untergruppen mit \(2\) oder \(3\) Elementen gibt?
