Zusammenhang zwischen Komplanarität und Linearer Abhängigkeit

Question

ich habe eine Frage zum Zusammenhang zwischen Komplanarität und Linearer Abhängigkeit. Ich beziehe mich hier ausschließlich auf Vektoren im dreidimensionlaen Raum. Dazu habe ich mal vier Thesen formuliert.

1.) Drei Vektoren, die komplanar sind, sind auch linear abhängig.

2.) Drei Vektoren, die linear abhängig sind, sind auch komplanar.

3.) Drei Vektoren, die NICHT komplanar sind, sind auch linear UNabhängig.

4.) Drei Vektoren, die linear UNabhängig sind, sind auch NICHT komplanar.

Ich bin mir nicht ganz sicher ob alle vier Thesen stimmen, aber ich glaube schon.

Die erste müsste auf jeden Fall stimmen, da drei Vektoren, die in einer Ebene liegen ja als Linearkombination dargestellt werden können. Ob das auch umgekehrt gilt weiß ich nicht genau. Aber ich denke schon. Mir fällt zumindest kein Gegenbeispiel ein.

Der Sinn und Zweck meiner Frage ist, ob es reicht, drei Vektoren auf Komplanarität zu überprüfen, um daraus eine Aussage über die lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit ableiten zu können.

Vielen Dank vorab für eure Hilfe.

Answer 1

Ich bin mir nicht ganz sicher ob alle vier Thesen stimmen, aber ich glaube schon.

Ja. Die Thesen stimmen alle.

Ein Nullvektor ist immer linear abhängig.

Zwei Vektoren die ungleich dem Nullvektor sind sind kolinear/linear abhängig, wenn der eine Vektor ein Vielfaches des anderen ist.

Drei Vektoren die ungleich dem Nullvektor sind sind komplanar/linear abhängig, wenn sich mind. ein Vektor als Linearkombination der anderen darstellen lässt.

Vier Vektoren im R^3 oder drei Vektoren im R^2 sind immer linear abhängig.

Comments

Super vielen Dank für die schnelle Antwort. Das heißt, wenn ich drei Vektoren auf lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit untersuchen soll, dann reicht es, auf Komplanarität zu überprüfen, also ob sich ein beliebiger der drei Vektoren als Linearkombination der anderen beiden darstellen lässt? 

\( \vec{a} \) = r * \( \vec{b} \) + s * \( \vec{c} \) 

Ist das der Fall, dann sind sie linear abhängig.

Das finde ich nämlich leichter, als \( \vec{0} \) = r * \( \vec{a} \) + s * \( \vec{b} \) + t * \( \vec{c} \)  zu untersuchen, weil man dann da eine Variable mehr hat.

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also ob sich ein beliebiger der drei Vektoren als Linearkombination der anderen beiden darstellen lässt?

Ein Beliebiger geht nicht. Du musst dafür sorgen das die Vektoren aus denen du die Linearkombination bildest schon linear unabhängig sind.

[1, 2, 3] kannst du nicht als Linearkombination von [1, 1, 1] und [2, 2, 2] darstellen. Trotzdem sind die 3 Vektoren linear abhängig.

Ansonsten finde ich das auch besser als die Linearkombination der drei Vektoren gleich dem Nullvektor zu setzen.

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Ohje okay ich sehe das Problem. Aber was heißt "ich muss dafür sorgen"? Heißt das ich muss erstmal überprüfen, ob \( \vec{b} \)  und  \( \vec{c} \) kollinear sind und kann erst dann die Komplanarität prüfen?

Ich will halt die Nache mit dem Nullvektor umgehen, aber inhaltlich trotzdem richtig bleiben.