Körperbeweis im bereich der ganzen Zahlen

Question

meine Frage bezieht sich auf den Körper K={x + y√2 ∈ R | x, y ∈ ℤ}. Man soll beweisen, dass es sich um einen Körper handelt.

Für K={x + y√2 ∈ R | x, y ∈ ℚ} habe ich das bereits bewiesen.

Nun ist meine Frage, ob es einen großen Unterschied macht, wenn die Zahlenbereiche sich unterscheiden. Beim inversen Element komme ich auf einen Bruch, was aber keine Ganze Zahl ist. Handelt es sich dann trotzdem bei  K={x + y√2 ∈ R | x, y ∈ ℤ} um einen Körper auch wenn das Inverse Element ∉ ℤ ist?

Answer 1

Die Grundmenge umfasst alle Zahlen des Typs a+b√2. In dieser Grundmenge müssen auch die inversen Elemente liegen. Falls a und b aus ℤ sind, werden im Allgemeinen die Inversen nicht unbedingt in ℤ liegen.

Answer 2

die Elemente von K sind ∈ℝ , nur x und y sind zwingend in ℤ.

Answer 3

Das kannst du nicht beweisen; denn es ist kein Körper.

Es ist zwar 1 = 1 + 0√2 das neutrale El. der Multiplikation, aber

manche Elemente haben in dieser Menge kein Inverses.

Etwa 1+2√2 .