Induktionsbeweis für alle ganzen Zahlen

Question

Aufgabe:

Beweise folgende Aussagen für alle ganzen Zahlen n∈ℤ:

1. Jede zweite gerade Zahl ist durch 4 teilbar.

2. Eine von drei aufeinanderfolgenden Zahlen ist durch 3 teilbar.

3. Eine der Zahlen n, n+2, n+4 ist durch 3 teilbar

Problem/Ansatz:

Ich hab mir überlegt mit dem Induktionsbeweis die Aussagen zu beweisen. Nur hab ich keinen Ansatz bzw. weiß nicht wie ich die Aussagen mathematisch formalisieren kann.

Da die Aussagen ja für alle ganzen Zahlen gelten, muss ich dann den Induktionsschritt einmal mit n+1 und n-1 durchführen?

Answer 1

Ich würde die Aussagen nicht mit vollständiger Induktion,

sondern "direkt" beweisen:

1. Eine gerade Zahl \(n\)   hat die Form \(2k\), wobei \(k\) gerade oder

ungerade ist, also \(k=2m\) oder \(k=2m+1\) mit ganzem \(m\).

Im zweiten Fall ist die auf \(n\) folgende Zahl

\(n+2=2(2m+1)+2=4m+2+2=4(m+1)\), also durch \(4\) teilbar.

2. Ist \(n\) nicht durch \(3\) teilbar, lässt es bei Division durch 3

den Rest \(1\) oder \(2\), hat also die Form

\(n=3m+1\) oder \(n=3m+2\). Der erste Fall liefert

\(n+2=3m+1+2=3(m+1)\), also ist \(n+2\) durch \(3\) teilbar.

Der zweite Fall gibt \(n+1=3m+2+1=3(m+1)\),

also ist \(n+1\) durch \(3\) teilbar.

3. Nach 2. ist eine der Zahlen \(n,n+1,n+2\) durch 3 teilbar,

ist dieses \(n+1\), also \(n+1=3m\),

so folgt \(n+4=3m+3=3(m+1)\).

Comments

Danke für deine Antwort. Hätte noch eine Frage zu der 1. Aufgabe und zwar zum letzten Schritt.

n+2 = 2k + 2 = 2(2m+1)+2 ….

in die Klammer setzen wir unser ungerades k ein. Und wo ist das gerade k zu finden?

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Das ist doch der erste Fall \(n=2k=2(2m)=4m\), also der triviale Fall !

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Alles klar vielen Dank.