Alle ganzen Zahlen bestimmen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle ganzen Zahlen n ∈ ℕ,für die n³ + n² + 1 durch 3 teilbar ist.

Problem/Ansatz:

Wie kann man das bestimmen ? BItte um hilfe..

Rejes

Answer 1

Ich vermute, dass es die Zahlen der Form 3k+1 mit k=0;1;2;3;... sind.

n³+n²+1=n²(n+1)+1

Wenn n=3k ist, ist n²(n+1) durch 3 teilbar, aber nicht n²(n+1)+1.

Wenn n=3k+2 gilt, ist n+1=3(k+1) ein Vielfaches von 3, aber nicht n²(n+1)+1.

Für n=3k+1 wird

n²(n+1)+1

=(3k+1)²(3k+2)+1=(9k²+6k+1)(3k+2)+1=27k³+36k²+15k+2+1

=3(9k³+12k²+5k+1)

Fertig!