Ermittle alle ganzen Zahlen n, für die n^2-3 ein ganzzahliges Vielfaches von n+3 ist.

Question

Aufgabe:

Ermittle alle ganzen Zahlen n, für die \( n^{2} \)-3 ein ganzzahliges Vielfaches von n+3 ist.

Problem/Ansatz:

Wie kann man an diese Aufgabe herangehen ? Vielleicht über Modulo ?

Dankeschön im Voraus für alle Beiträge !

Answer 1

Ich würde zuerst eine Polynomdividion machen:

(n^2 - 3)/(n + 3) = n - 3 + 6/(n + 3)

Der Rest 6/(n + 3) müsste ganzzahlig sein, was der Fall ist, wenn n + 3 ein Teiler von 6 ist, also

n + 3 = -6 ; -3 ; -2 ; -1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 6

Subtrahiert man 3 von beiden Seiten ergibt sich für n

n = -9 ; -6 ; -5 ; -4 ; -2 ; -1 ; 0 ; 3

Answer 2

n^2-3=k*(n+3)

n	n^2-3	n+3	k
3	6	6	1
-9	78	-6	-13
-6	33	-3	-11
-2	1	1	1
0	-3	3	-1

Es scheint, als wäre n=3 die einzige Lösung.

n^2-k*n-3*(k+1)=0

Wenn es ganzzahlige Lösungen für n gibt, muss n einTeiler von 3*(k+1) sein.

n=3 haben wir bereits.

Weitere Lösungen müssen Vielfache von 3 sein.

Aus der Antwort des Mathecoaches erkennt man, dass es nur Lösungen gibt, wenn 6/(n+3) ganzzahlig ist.

Das ist für -9; -6; -2;  0 und 3 der Fall.

:-)

PS

und für -5 und -4 auch, ebenso für -1.

;-)

PPS

Da 6 als ganzzahlige Teiler -6;-3;-2;-1;1;2;3 und 6 hat, gibt es acht Lösungen.