Induktionsbeweis für Teilbarkeit?

Question

Aufgabe:

Sei a eine ganze Zahl. Beweisen Sie: Für alle n ∈ ℕ = {1,2,3, ... } gilt:

(a-1) | (aⁿ -1)

Nutzen Sie vollständige Induktion.

Ich bin aus vollständiger Induktion leider etwas raus. Wie beweise ich diese Aufgabe mit der Induktion? Mit macht das aⁿ vor allem etwas zu schaffen...

Danke im Voraus!

Answer 1

IA: Zeige das die Aussage für n = 1 gilt

(a - 1) | (a^1 - 1) = (a - 1)

Das ist offensichtlich wahr.

IS: Zeige das es für n + 1 gilt, wenn es für ein n gilt.

a^(n + 1) - 1 = a * a^n - a + a - 1 = a * (a^n - 1) + (a - 1)

Die Summe ist durch a - 1 teilbar, weil beide Summanden durch a - 1 teilbar sind.

Answer 2

Zeige, dass es für n=1 gilt.

Zeige: Wenn a^n-1 durch a-1 teilbar ist, ist auch \(a^{n+1}-1\) durch (a-1) teilbar.

Tipp: Schreibe \(a^{n+1}-1\) als
\((a^{n+1}\bold{-\red{a^n})+(\red{a^n}}-1)\).