Induktionsbeweis Teilbarkeit Probleme beim lösen

Question

Hallo,

Ich schaffe es nicht folgenden Induktionsbeweis zu lösen.

Kann mir einer dabei helfen?

Für alle \( a \in \mathbb{N}: a^{2 n+1}-a \) ist durch 6 teilbar fur alle n∈ℕ

Freue mich auf eure antworten :)

Answer 1

a^{2 n+1}-a

= a * ( a^{2 n}- 1)

= a* (a^n - 1) (a^n + 1)

Fall n= 1

a^{2 +1}-a = a* (a - 1) (a + 1) Produkt von 3 aufeinanderfolgenden Zahlen. Enthält automatisch eine durch 3 und mindestens eine durch 2 teilbare Zahl. D.h. durch 6 teilbar.

Das wäre mal die Verankerung von einem Induktionsbeweis.

Answer 2

Induktionsvoraussetzung:

a^{2n+1} -a =6k → a^{2n+1}=6k+a

Induktionsschritt:

a^{2(n+1)+1} -a

=a^{2n+3} -a

=a^{2n+1}*a^2-a

=(6k+a)*a^2-a

=6k*a^2 +a^3-a

=6k*a^2+(a^2-1)*a

=6k*a^2+(a-1)*a*(a+1)

:-)