Mächtigkeit für Untergruppe und Ordnung eines Elements in Sym(5)

Question

ich habe eine kurze Verständnisfrage.

Man betrachtet die Gruppe G = Sym(5).

Die Frage ist nun, welche von 1 und von |G| verschiedenen natürlichen Zahlen kommen als Mächtigkeiten für Untergruppen von G in Frage.

Nunja Sym(5) beinhaltet die Zahlen {1, 2, 3, 4, 5}, somit hat es die Mächtigkeit |5|. Da ja die Frage war, welche von 1 und |G| =|5| verschiedenen Zahlen für Mächtigkeiten für Untergruppen von G in Frage kommen, würde ich sagen 2, 3, 4.

Z.B.: {1, 2} wäre dann |2|
{1, 2, 3} wäre dann |3|
{1, 2, 3, 4} wäre dann |4|

Reicht das als Erklärung?

Comments

nein das ist leider falsch. G=Sym(5) ist nicht die Menge M = {1,2,3,4,5} sondern die Menge aller Permutationen einer solcher Menge. Ihre Mächtigkeit beträgt  |G| = 5! = 120

Gruß

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Hi,

danke für die Antwort.

Würde das dann bedeuten, dass die Zahlen 2 bis 119 als Mächtigkeiten für Untergruppen von G in Frage kommen? Das ist zu einfach gedacht oder?

Answer 1

habt ihr den Satz von Lagrange gemacht?

-> https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Lagrange

Die Mächtigkeit jeder Untergruppe ist ein Teiler der Mächtigkeit der Gruppe. (Im endlichen Fall)

Also musst du dir die Teiler von |G| anschauen um zu schauen welche Zahlen in Frage kommen. (das heißt nicht, dass solche Untergruppen existieren müssen).

Gruß

Comments

achso ich verstehe. Ja, Lagrange hatten wir, ist schon wieder etwas her.

Also haben wir als Mächtigkeiten für Untergruppen von G, die in Frage kommen:

{2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60}

richtig?

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Das wären die Mächtigkeiten außer 1 und 120 die theoretisch möglich wären, ja.

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Ok, ich hätte dann noch eine Frage zur Ordnung eines Elementes.

Nehmen wir n aus G, dann ist die Ordnung des Elementes n die kleinste natürliche Zahl m, dass gilt: n^m = id.

Jetzt ist die Frage warum G keine Elemente der Ordnungen 8 oder 15 enthält und welches Element die größtmögliche Ordnung in G hat.

Das müsste ja bedeuten, dass n⁸ und n¹⁵  ≠ id  sind, wobei n natürlich nicht gleich sein muss.

und für Teil 2 der Aufgabe ist eben ein n gesucht, wobei n^m m am größten für alle Elemente in G ausfällt.

Ich weiß jetzt nicht genau was id für Sym(5) ist.

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Die Identität ist in Sym(5) die Permutation die nichts verändert.

Für die restlichen Aufgaben: Du kannst jedes Element n von Sym(5) in Zykelschreibweise notieren. Die Ordnung des Elements ist der kgV der Zyklenklängen.

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Also kann man höchsten die Ordnung 6 haben bei Sym(5)?

Da bspw. (124) (35). Die Ordnung ist wie gesagt das kgV der Zyklenlängen, somit kgV (3,2) = 6.

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Ganz genau :).