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ich habe eine kurze Verständnisfrage.

Man betrachtet die Gruppe G = Sym(5).

Die Frage ist nun, welche von 1 und von |G| verschiedenen natürlichen Zahlen kommen als Mächtigkeiten für Untergruppen von G in Frage.

Nunja Sym(5) beinhaltet die Zahlen {1, 2, 3, 4, 5}, somit hat es die Mächtigkeit |5|. Da ja die Frage war, welche von 1 und |G| =|5| verschiedenen Zahlen für Mächtigkeiten für Untergruppen von G in Frage kommen, würde ich sagen 2, 3, 4.

Z.B.: {1, 2} wäre dann |2|
{1, 2, 3} wäre dann |3|
{1, 2, 3, 4} wäre dann |4|

Reicht das als Erklärung?

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nein das ist leider falsch. G=Sym(5) ist nicht die Menge M = {1,2,3,4,5} sondern die Menge aller Permutationen einer solcher Menge. Ihre Mächtigkeit beträgt  |G| = 5! = 120

Gruß

Hi,

danke für die Antwort.

Würde das dann bedeuten, dass die Zahlen 2 bis 119 als Mächtigkeiten für Untergruppen von G in Frage kommen? Das ist zu einfach gedacht oder?

1 Antwort

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Beste Antwort

habt ihr den Satz von Lagrange gemacht?

-> https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Lagrange

Die Mächtigkeit jeder Untergruppe ist ein Teiler der Mächtigkeit der Gruppe. (Im endlichen Fall)

Also musst du dir die Teiler von |G| anschauen um zu schauen welche Zahlen in Frage kommen. (das heißt nicht, dass solche Untergruppen existieren müssen).

Gruß

Avatar von 23 k

achso ich verstehe. Ja, Lagrange hatten wir, ist schon wieder etwas her.

Also haben wir als Mächtigkeiten für Untergruppen von G, die in Frage kommen:

{2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60}

richtig?

Das wären die Mächtigkeiten außer 1 und 120 die theoretisch möglich wären, ja.

Ok, ich hätte dann noch eine Frage zur Ordnung eines Elementes.

Nehmen wir n aus G, dann ist die Ordnung des Elementes n die kleinste natürliche Zahl m, dass gilt: nm = id.

Jetzt ist die Frage warum G keine Elemente der Ordnungen 8 oder 15 enthält und welches Element die größtmögliche Ordnung in G hat.

Das müsste ja bedeuten, dass n8 und n15  ≠ id  sind, wobei n natürlich nicht gleich sein muss.

und für Teil 2 der Aufgabe ist eben ein n gesucht, wobei nm m am größten für alle Elemente in G ausfällt.


Ich weiß jetzt nicht genau was id für Sym(5) ist.

Die Identität ist in Sym(5) die Permutation die nichts verändert.

Für die restlichen Aufgaben: Du kannst jedes Element n von Sym(5) in Zykelschreibweise notieren. Die Ordnung des Elements ist der kgV der Zyklenklängen.

Also kann man höchsten die Ordnung 6 haben bei Sym(5)?

Da bspw. (124) (35). Die Ordnung ist wie gesagt das kgV der Zyklenlängen, somit kgV (3,2) = 6.

Ganz genau :).

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