Polynomfunktion vom Grad 4 aufstellen (Wendepunkt und Tangentenpunkt gegeben)

Question

Ich möchte eine gerade Polynomfunktion vom Grad 4, welche im Punkt (1, 2) sowohl einen Wendepunkt

hat als auch eine Tangente, die durch (0, 0) verläuft aufstellen.

Zunächst habe ich mir überlegt, dass 4 gerades dies bedeutet:

f(x) = ax^4+bx^3+cx^2+dx+e

Für den Wendepunkt ist nun noch interessant, dass er an der Stelle (1,2) ist daher habe ich dann die 2 Ableitung gebildet f''(x) = 12ax^2+6bx+2

Nun habe ich für x = 1 eingesetzt und mein Y Wert ist 2. Ich komme somit auf 12a^2+6b+2=2

Leider komme ich jetzt nicht mehr weiter, wie kann ich die den Tangentenpunkt (0,0) einbeziehen ?

Vielleicht durch y = mx+b daher 0 = x*0 + b --> b = 0 ?

wie muss ich dann weitermachen ?

Comments

Also ich habe zunächst, um das nochmal zusammen zu fassen:

Wendepunkt (1,2) d.h. f''(x) -> f''(1) = 0 also 12a^2+6b+2c = 0

f(1) = 2 also a+b+c+d+e = 2

Dann habe ich für f'(1) = 0 das ist ja ein Kriterium für einen Wendepunkt ?! oder wofür nutzt mir f'(1) ?

Answer 1

Zunächst habe ich mir überlegt, dass 4 gerades dies bedeutet:

f(x) = ax⁴+bx³+cx²+dx+e

war die Funktion nicht auch GERADE, dann sind b und d schon mal 0.

Für den Wendepunkt ist nun noch interessant, dass er an der Stelle (1,2) ist daher habe ich dann die 2 Ableitung gebildet f''(x) = 12ax²+6bx+2

Nun habe ich für x = 1 eingesetzt und

dann muss Null herauskommen wegen Wende!!!punkt.

mein Y Wert ist 2. Ich komme somit auf 12a*1+6b*1+2=0

Leider komme ich jetzt nicht mehr weiter, wie kann ich die den Tangentenpunkt (0,0) einbeziehen ?

Vielleicht durch y = mx+b und wenn  die Tang durch (1;2) und durch (0;0) geht,

hat sie die Steigung m= 2 also ist  f ' ( 1) = 2

und außerdem  f (1) = 2 , weil der Punkt zu f gehört.

Comments

okay habe ich vermerkt, wie kann ich nun die Tangente mit einbeziehen, das müsste dann ja bedeuten, dass der Graph auch durch 0,0 geht. Wie mache ich an dieser Stelle Weiter ?

x = 0 y = 0 und x in f(x) einsetzen ? -->  e = 0 ??

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Dann habe ich bis jetzt drei Gleichungen:

a+b+c+d+e = 2

12a^2+6b+2c = 0

4a+3b+2c+d = 2

Eine weitere ist mir leider nicht bekannt, dazu benötige ich ein wenig Unterstützung

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b=0 und d=o weil die Funktion gerade ist.

a+b+c+d+e = 2

12a+6b+2c = 0  nix a^2

4a+3b+2c+d = 2

Answer 2

f ( x ) = ax⁴+bx³+cx²+dx+e
f ´( x ) = 4 * a * x^3 + 3 * b * x^2 + 2 * c * x + d
f ´´( x ) = 12 * a *x^2 + 6 * b * x + 2 * c

( 1  | 2 )

Die Steigung der Tangente im Punkt ist 2

f ( 1 ) = 2
f ´´( 1 ) = 0
f ´( 1 ) = 2

a +b +c+d +e = 2
12 * a  + 6 * b  + 2 * c = 0
4 * a  + 3 * b  + 2 * c  + d = 2

Zur Lösung fehlen also noch Angaben.

Comments

@Georg: Die Funktion ist gerade. Ich will mich nicht festlegen, aber ich denke, dass man die ungeraden Exponenten weglassen kann. Auf jeden Fall könnte man dann mit den 3 Bedingungen die Aufgabe lösen.

LG

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Vielleicht die Information, dass die Funktion gerade sein soll ?

// danke Simon

Nur wie soll das einbezogen werden ?

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Stimmt " gerade " Polynomfunktion hatte ich übersehen.

Also fällt b und d weg

a +c +e = 2
12 * a  + 2 * c = 0
4 * a  + 2 * c  = 2

a = - 1/4
c = 3/2
e = 3/4

Alle Angaben ohne Gewähr.

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Passt gerade ausgerechnet, danke für eure Hilfe !

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Answer 3

f ( x ) = ax⁴+cx²+e
f ´( x ) = 4ax³+2cx

f´´(x)=12ax+2c

f ( 1 ) = 2         I.    a+c+e=2

f ´´( 1 ) = 0      II.   12a+2c=0

f ´( 1 ) = 2        III.   4a+2c=2

-4c=-6

c=1,5

a=-1/4

e=3/4

f(x)=-0,25x^4 +1,5x²+0,75

LG