Ist ... irreduzibel in ...? Bsp. Ist x^2 - 4x +1 irreduzibel in ℚ[x]?

Question

Hier noch ein paar Aufgaben, wo ich eure Hilfe brauche...:

1) Ist x² - 4x +1 irreduzibel in ℚ[x] ?

2) Ist x² + 2x -1 irreduzibel in ℝ[x] ?

3) Ist x⁴ + x² +1 irreduzibel in |F₂[x] ?

Soweit wäre ich gekommen...:

zu 1) : Nullstellen sind x₁ = 2-√(3) und x₂ = √(3) +2 .. Der Grad des Polynoms ist 2 und deshalb reduzibel. Wenn es keine Nullstellen gäbe, dann wäre das Polynom irreduzibel.

zu 2): Nullstellen sind x₁ = -√(2) -1  und x₂ = √(2) -1.. Der Grad des Polynoms ist 2 und deshalb reduzibel.

Bin mir sehr unsicher. Wie muss ich das mit Q , R und F interpretieren. Was sagen mir die Nullstellen aus und wie gehe ich am besten vor...?

VIELEN VIELEN DANK! :)

Answer 1

1.) Die Lösung liegt in ℝ
2.) Die Lösung liegt in ℝ
3.) keine Lösung in ℝ. Was ist |F₂[x] ?

mfg Georg

Comments

Bei c) dürfte GF2 gemeint sein. https://www.wolframalpha.com/input/?i=GF2

Rechne also mal modulo 2.

Die geben in GF2 gleich noch eine Faktorisierung an: https://www.wolframalpha.com/input/?i=+x%5E4+%2B+x%5E2+%2B1+in+GF2

Answer 2

zu 1) : Nullstellen sind x₁ = 2-√(3) und x₂ = √(3) +2 .. Der Grad des Polynoms ist 2 und deshalb reduzibel. Wenn es keine Nullstellen gäbe, dann wäre das Polynom irreduzibel.

Da deine Nullstellen nicht in Q liegen, ist dein Polynom in Q irreduzibel.

Bei 2) bin ich einverstanden mit deiner Überlegung.

Suche erst mal eure Definitionen von Q , R und F2 raus und von reduzibel. Dahinter versteckt sich der Sinn dieser Aufgabe.