Wie kann man diese Funktion als e-Funktion schreiben, um dann den Limes zu bestimmen?

Question

Aufgabe:

Wie kann man diese Funktion als e-Funktion schreiben, um dann den Limes zu bestimmen?

b_n = e^n² / nⁿ

Ansatz/Problem:

Eine Tutorin meinte, man kann e^n² auch als e^{ln n²} umschreiben... kann das jemand bestätigen?

Unter der Annahme, dass es stimmt, würde ich dann Folgendes machen:

\( b_{n}=\frac{e^{n^{2}}}{n^{n}}=\frac{e^{\ln n^{2}}}{n^{n}}=\frac{e^{2 \operatorname{tn} n}}{n^{n}}=\frac{e^{\ln n} e^{\ln n}}{n^{n}}=\frac{n^{2}}{n^{n}}=\frac{1}{n^{n-2}} ~ \overrightarrow{n \text { gegen } \infty} ~ = 0 \)

Answer 1

der Ansatz ist ja völlig verkehrt, denn \( e^{n^2} \neq e^{\ln(n^2)} \).

Du solltest eher den Nenner umschreiben:

$$ n^n = e^{\ln(n^n)} = e^{n \ln n}$$

Dann ist

$$ b_n = e^{n^2-n \ln n} $$

Und es reicht zu untersuchen:

$$ \lim \limits_{n \to \infty} n(n-\ln(n)) = ?$$

Gruß

Answer 2

n^n = e^{ln[n^n]} = e^{n*ln[n]}

e^{ n } ^hoch2 / e^{n*ln[n]}
e hoch ( n^2 - n * ln ( n ) )

e hoch ( n * ( n - ln ( n ) )

lim n −> ∞ [ n - ln ( n ) ] = ∞

lim n −> ∞ [ e hoch ( n * ( n - ln ( n )) ] = ∞ * ∞ = ∞