Integralrechnung: Wurzelbecher nach Maß / Volumen eines Rotationskörpers

Question

Aufgabe - Wurzelbecher nach Maß:

Ein Becher entsteht durch Rotation der blau gefärbten Fläche um die x-Achse. Welche Höhe h muss der Becher haben, damit das Rotationsvolumen ungefähr 200 cm³ beträgt?

Die beiden Funktionen lauten:

\( f(x)=\sqrt{5 x+4} \\ g(x)=\sqrt{5 x-4} \)

Ansatz/Problem:

Ich verstehe noch nicht, wie ich anfangen soll. Einfach das Volumen eines Rotationskörpers mit dem Integral kann ich eigentlich, aber hier?

Answer 1

Du läßt erst mal f rotieren, und berechnest das Volumen von 0 bis h

das gibt  pi*(2,5h^2 + 4h)

Dann läßt du g rotieren, aber hier geht es ja erst bei 4/5 los, also

pi * das Integral von 4/5 bis h über g^2

Das gibt  pi*(2,5h^2 - 4h +8/5)

Jetzt das erste minus das zweite, das gibt das Materialvolumen des Bechers

pi*( 8h - 8/5) und das soll gleich 200 sein.

pi*( 8h - 8/5) = 200 hat die Lösung  h = (pi+125) / ( 5pi)  ≈ 8,16

Also muss der Becher etwa 8,16 cm hoch sein, damit zu seiner Herstellung

etwa 200 cm^3 Material verwendet werden muss.

Comments

Vielen Dank, ich hätte da nur noch zwei Fragen dazu und ich sollte alles verstanden haben.

1) Wie kommst du auf die 8/5? (bei "pi * das Integral von 4/5 bis h über g^2. Das gibt  pi*(2,5h² - 4h +8/5)")

2) Wie löst du das am Ende genau auf? Ich verstehe das Ziel, h auf eine Seite zu bringen etc, aber wie gehst du genau vor? (bei "pi*( 8h - 8/5) = 200 hat die Lösung  h = (pi+125) / ( 5pi)  ≈ 8,16")

:)

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pi * das Integral von 4/5 bis h über g²

pi * das Integral von 4/5 bis h über 5x - 4

=pi* [ 2,5x^2 - 4x ] von 4/5 bis h

= pi* (   2,5h^2 - 4h - ( 2,5*(4/5)^2 - 4*4/5) )

und   - ( 2,5*(4/5)^2 - 4*4/5) = 8/5

2,.

pi*( 8h - 8/5) = 200   |  : pi

8h - 8/5  =  200 / pi

8h =  200 / pi   +  8/5

h =  (  200/pi + 8/5 )  : 8

So geht es auch, ich hatte das vorher noch auf einen gem.

Nenner gebracht.

Answer 2

Jo, Verstehe grade das problem nicht aber ich erklär mal so wie ich das verstanden hab. Je nachdem was ein Rotationsvolumen ist (Ist damit der inhalt gemeint, oder alles ab dem rand oder wie..?), entweder Pi* Integral von 0 bis t f(x)^2 = 300 und dann mitm taschenrechner nach t auflösen, das wäre alles ab dem rand des bechers. Falls der Rauminhalt gemeint ist müsstest du dassselbe mit g(x) machen Wozu dann aber 2 funktionen angegeben sind ergibt sich mir nicht, vielleicht kannst du da mal erklären was gemeint ist :)?

Comments

Die Angaben von f unf g ergeben nur Sinn wenn das Volumen des Materials gemeint ist.

Answer 3

Hier meine Berechnung
200 cm^3 ist das Volumen des Materials

Comments

Für das innere Volumen geht das Integral erst bei 0,8 los.

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@mathef
Danke für den Fehlerhinweis.

Korrektur

V_i = π * [ 5/2 * x^2 - 4 * x ] _0.8 ^t

An den Fragesteller : schaffst du die Korrektur allein ?
Ansonsten wieder melden.