Berechnen Sie x nach dem NEWTON-Verfahren: Bsp. x^3 + 3x - 6 = 0

Question

Näherungsweise Berechnung von Nullstellen:

Die folgende Gleichung hat genau eine Lösung x.

Berechnen Sie x nach dem NEWTON-Verfahren. Brechen Sie das Verfahren ab, wenn sich dir vierte Dezimale nicht mehr ändert; runden sie dann auf drei Dezimalen.

a)  x^3 + 2x - 1 = 0

b) x^3 + 3x - 6 = 0

Könnte mir das jemand mit Lösungsweg bitte rechen? Weil ich muss ein Referat darüber halten und ich verstehe es echt überhaupt nicht. Danke danke danke!

 

Answer 1

Hi,

a) x³ + 2x - 1 = 0

Am besten beginnst Du damit ein Schaubild zu zeichnen, damit Du in etwa die Nullstelle abschätzen kannst. Diese findest Du bei etwa x=0,5, welche nun gleich Dein Startwert werden wird.

 

Für das Newtonverfahren gilt folgende Formel:

x_i+1=x_i-f(x_i)/f'(x_i)

D.h. wir müssen vorher noch die Ableitung bestimmen: f'(x)=3x^2+2

 

Nun haben wir alles was wir brauchen. Für das erste i (i=0) wählen wir einen beliebigen Startwert vorzugsweise nahe der Nullstelle. Oben hatte ich ja schon angekündigt, dass meine Wahl auf 0,5 fällt.

 

x₁=0,5-f(0,5)/f'(0,5)=0,454545

Das ist nun Dein neuer Wert, den Du einsetzt:

x₂=x₁-f(x₁)/f'(x₁)=0,453398

x₃=0,453398

Es ändert sich die vierte Dezimalstelle nicht mehr, runden wir also wie gefordert: x=0,453

Das ist unsere Nullstelle.

 

b) Das gleiche nun hier:

x³ + 3x - 6 = 0

Schaubild deutet auf etwa 1,25 hin.

Ableitung f'(x)=3x^2+3

 

Also mit Startwert x₀=1,25

x₁=1,28861

x₂=1,28791

x₃=1,28791

Die vierte Dezimalstelle ändert sich nicht mehr: Runden wir wie gefordert -> x=1,288

 

Alles klar?

 

Grüße

Comments

Vielen vielen Dank! Sehr anschaulich erklärt und ich hab's auch verstanden ;)

aaber ( ich hoffe, du hältst mich jetzt nicht für dumm) wie zeichnet man denn das Schaubild dazu?

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Es freut mich, dass Dus verstanden hast :).

 

Das Schaubild bilde mittels einer Wertetabelle. Suche Dir beliebige x-Werte aus und errechne die zugehörigen y-Werte.