Berechne die Nullstelle mit dem Newton Verfahren

Question

Aufgabe:

Berechne die Nullstelle der nachfolgenden Funktion.

Hierbei ist das Abbruchkriterium stets | f(x) | < ε.

f: ℝ>0 → ℝ, f(x) = x² - 2

Nutzt das Newton-Verfahren für f mit den Eingabewerten x₁=1 und ε=\( \frac{1}{500} \)

Ich habe leider keine Ahnung was ich hier machen muss.

Answer 1

Hallo

wie kommt man an eine Frage , zu der man keine Ahnung hat?

Das Newtonverfahren solltest du aus deinem Skript kennen oder die gute Darstellung in wiki nach lesen

https://de.wikipedia.org/wiki/Newtonverfahren

x=1 ist der Startwert. aufhören kannst du wenn der Wert <=ε=\( \frac{1}{500} \) ist.

Nachdem du die Formel aus wiki hast, kannst du ja nachfragen, was deine Schwierigkeit ist.

Gruß lul

Answer 2

Berechne \(x_2 = x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)}\). Falls \(|f(x_2)| < \varepsilon\) ist, dann ist \(x_2\) die Lösung.

Berechne \(x_3 = x_2 - \frac{f(x_2)}{f'(x_2)}\). Falls \(|f(x_3)| < \varepsilon\) ist, dann ist \(x_3\) die Lösung.

Berechne \(x_4 = x_3 - \frac{f(x_3)}{f'(x_3)}\). Falls \(|f(x_4)| < \varepsilon\) ist, dann ist \(x_4\) die Lösung.

...

Answer 3

\(f(x)=x²-2\\ f'(x)=2x\)

\(x_1=1~~~~;~~~\varepsilon=1/500=0,002\)

\(x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}\)

\(x_{2}=1-\dfrac{1^2-2}{2\cdot1}=1,5\)

\(x_{3}=1,5-\dfrac{1,5^2-2}{2\cdot1,5}=\ldots\)

usw.

:-)

Answer 4

Hallo,

... weil's so schön ist, mal ganz detailliert: Da ist eine Funktion \(f(x)=x^2-2\) und gesucht ist das \(x\) für das der Funktionswert 0 annimmt. Es soll also sein$$f(x) = x^2 - 2 = 0, \quad x =\, ?$$Es wird also eine Nullstelle dieser Funktion gesucht. Man nehme einen Schätzwert \(x_1=1\) und schaue mal was passiert

~plot~ x^2-2;{1|-1};2(x-1)-1;x=1.5;[[-2|3|-2.5|1.5]] ~plot~

Der Funktionswert \(f(x=1)= -1\). Das ist zwar nicht der richtige Wert, aber man kann nun eine Tangente an diesen Punkt \((1|\,-1)\) legen und die Nullstelle der (roten) Tangente berechnen. Dazu brauchen wir die Ableitung von \(f(x)\)$$f'(x)  = 2x$$ und die Punkt-Steigungsform der Geraden bzw. Tangente \(t_1\), von der wir nun die Nullstelle suchen$$\begin{aligned}t_1: \quad t_1(x) = f'(x_1) (x-x_1) + f(x_1) &= 0&&|\, -f(x_1) \\ f'(x_1) (x-x_1) &= -f(x_1) &&|\,\div f'(x_1)\\ x-x_1 &= -\frac{f(x_1)}{f'(x_1)} &&|\,+x_1\\ x &= x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} \\ &= 1 - \frac{-1}{2} = 1,5\end{aligned}$$das ist ein neuer (und hoffentlich besserer) Wert für \(x\). \(x_2=1,5\) habe ich oben als grüne Vertikale markiert.

Mit dem neuen Startpunkt \(x_2=1,5\) wiederholt man den Schritt und kommt zu folgendem Graphen (jetzt vergrößert)

~plot~ x^2-2;;x=1.5;{1.5|0.25};3(x-1.5)+0.25;x=1.417;[[-0.2|1.9|-0.9|0.6]] ~plot~

\(x_2\) ist immer noch grün markiert. Man legt wieder eine Tangente \(t_2\) an (lila) und berechnet wieder deren Nullstelle nach der selben Iterationsvorschrift$$x_3 = x_2 - \frac{f(x_2)}{f'(x_2)} = 1,5 - \frac{f(1,5)}{f'(1,5)} = 1,5 - \frac{0,25}{3} \approx 1,417$$die neue Nullstelle habe ich nun gelb markiert.

Und wenn man es verstanden hat, macht man sich eine Tabelle. $$\begin{array}{ccc|c}x& f(x)& f'(x)& |f(x)|<\epsilon\\\hline 1& -1& 2& -\\ 1.5& 0.25& 3& -\\ 1.417& 0.006944& 2.833& -\\ 1.414216& 6.0073E-06& & \checkmark\end{array}$$Wobei das \(x\) in jeder neuen \(i+1\)'ten Zeile sich aus der Iterationsvorschrift $$x_{i+1} = x_i - \frac{f(x_i)}{f'(x_i)}$$ ergibt. Sobald der Betrag von \(f(x)\) kleiner als das gewünschte \(\epsilon=1/500\) ist, kann man aufhören. Das Ergebnis ist dann der Wert für \(x\) unten links.

Gruß Werner