Newton-Verfahren Startwert zyklisches Verhalten

Question

Aufgabe:

Für die Funktion \(f(x)=sin(x)\) soll ein Startwert aus dem Intervall \(x_0 \in (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})\) bestimmt werden, bei dem das Newton-Verfahren mit Periode 2, zyklisches Verhalten zeigt.

Problem/Ansatz:

Bisher wurden die beiden Randpunkte \(\frac{\pi}{4}\) und \(\frac{\pi}{2}\) als Startpunkte gewählt. Bei beiden stellte sich kein zyklisches Verhalten ein.

Wie ermittel man numerisch den passenden Startwert?

Comments

Wähle vielleicht die positive Lösung der Gleichung x=arctan(2x) als Startwert.

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Was soll denn mit Newton bestimmt werden sin(x)=0 sin(x)=1 oder??

Gruß lul

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sin(x) = 0 soll bestimmt werden.

Answer 1

Hallo,

wähle einen Startwert \(x_0\) für den sich nach zwei Iterationen wieder der Startwert einstellt. Die erste Iteration gibt:$$x_1 = x_0 - \frac{f(x)}{f'(x)} = x_0 - \frac{\sin x_0}{\cos x_0} = x_0 - \tan x_0$$und für die nächste dann$$x_2 = x_1 - \tan x_1$$ und wenn \(x_2 = x_0\) ergibt, haben wir das zyklische Verhalten. Also$$\begin{aligned} x_0 &= x_2 \\ x_0 &= x_1 - \tan x_1 \\ x_0 &= x_0 - \tan x_0 - \tan \left( x_0 - \tan x_0 \right) \\ \tan x_0 &=  - \tan \left( x_0 - \tan x_0 \right) \\ x_0 &= \tan x_0 - x_0 \\ 0 &= \tan x_0 - 2x_0 \end{aligned}$$Das kann man wiederum nummerisch lösen und kommt auf \(x_0 \approx 1.165561185\).

In der graphischen Darstellung sieht man, warum dieser Startwert beim Newton-Verfahren zu einem zyklischen Verhalten führt:

~plot~ sin(x);0.39423(x-1.166)+0.919;{1.166|0.919};x=-1.166;0.39423(x-1.166);x=1.166 ~plot~

Die erste Iteration an der gelb markierten Stelle führt zur grün markierten Stelle und diese wieder zum Startwert zurück.

Comments

Auf die Idee mit dem Gleichsetzen von \(x_0 = x_2\) bin ich nicht gekommen. Danke für den Hinweis.