Schafft das Geländeauto den Berg? Kommt ein Fahrzeug mit der Steigfähigkeit von 30 % den Berg rauf?

Question

Aufgabe - Schafft das Geländeauto den Berg?

Die Messwerte für ein Bergprofil werden in einer Tabelle und im Koordinatensystem festgehalten.

a) Kommt ein Fahrzeug mit der Steigfähigkeit von 30 % den Berg rauf? Dokumentieren Sie, wie Sie zu Ihrer Entscheidung gekommen sind. Sind Sie sicher?

b) Das Bergprofil wird durch die Funktion \( f(x)=-0,3 x^{3}+0,45 x^{2}+0,075 x+0,0075 \) im Intervall \( [0 ; 1] \) modelliert ( \( x \) und \( y \) in \( \mathrm{km} \) ). Überprüfen Sie mit Ihrem GTR, ob das Funktionsmodell zu der Tabelle passt.

c) Wie fällt Ihre Entscheidung aus a) mithilfe dieser Modellfunktion aus? Begründen Sie.

x (in km)	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1,0
y (in km)	0,008	0,04	0,09	0,15	0,2	0,23

Ansatz/Problem:

Wir haben bisher nur mittlere und momentane Änderungsraten berechnet. Also noch keine Ableitungsfunktionen.

Answer 1

(0.04 - 0.008) / (0.2 - 0) = 0.16

(0.09 - 0.04) / (0.4 - 0.2) = 0.25

(0.15 - 0.09) / (0.6 - 0.4) = 0.3

(0.2 - 0.15) / (0.8 - 0.6) = 0.25

(0.23 - 0.2)/(1 - 0.8) = 0.15

Wenn die Steigung an keiner Stelle 30% übersteigen würde, würde das Fahrzeug hoch kommen. Das ist aber bei einer durchschnittlichen Steigung sicher nicht so gegeben. Es gibt wohl kaum ein Berg der genau linear ansteigt.

f(x) = - 0.3·x^3 + 0.45·x^2 + 0.075·x + 0.0075

[0, 0.0075;
0.2, 0.0381;
0.4, 0.0903;
0.6, 0.1497;
0.8, 0.2019;
1, 0.2325]

f'(x) = - 0.9·x^2 + 0.9·x + 0.075

f''(x) = 0.9 - 1.8·x = 0 --> x = 0.5

f'(0.5) = - 0.9·0.5^2 + 0.9·0.5 + 0.075 = 0.3

Damit sollte das Fahrzeug die Steigung an jeder Stelle schaffen.

Comments

Erstmal danke für die schnelle und ausführliche Antwort. Den ersten Teil der Antwort kann ich nachvollziehen. Aber den Schluss nicht mehr. Wieso haben Sie die x-Werte in die Funktion eingesetzt, das wird doch hinterher gar nicht mehr verwendet? Und ich verstehe nicht, was die einzelnen Ableitungsfunktionenen besagen, warum wird die zweite gleich Null gesetzt? Wie gesagt, wir hatten noch gar keine, kann man das dann auch noch anders berechnen?  H-Methode???

---

Ja. Du kannst auch die h-Methode nehmen. Oder f'(x) ist ja eine Parabel und dort den Scheitelpunkt bestimmen. Scheitelpunkt kann man auch ohne Ableitungen bestimmen.

---

Ich stell mich jetzt sicher sehr dumm an, aber ich verstehe noch nicht die Verbindung. Der Scheitelpunkt gibt den höchsten Punkt bei der Parabel an, aber ich komme von dieser Textaufgabe nicht darauf, das so zu rechnen. Irgendwie verstehe ich den Zusammenhang noch nicht.

---

Du bildest die Ableitung. Damit erhältst du eine Funktion, die dir die Steigung an verschiedenen Stellen beschreibt. Nun darf die Steigung allerdings nie > 0.3 liegen.

Entweder kannst du also

f(x) > 0.3 setzen was keine Lösung gibt oder du berechnest den Scheitelpunkt und damit die höchste Steigung.

---

Ok, jetzt hab ich es verstanden, super, besten Dank!!!