Der sichere Berg ohne Hilfe eines Bergführers? Infopunkt?

Question

Mein Thema ist Ableitung und die Aufgabe lautet :

Ein Berg wird durch  beschrieben mit dem Intervall

 [ 1/2 ≤ x ≤ 2 ] durch die Funktion f ( x ) = x^-1

Hinweis : ab einer Steigung die größer als 60° ist braucht jede Gruppe einen Bergführer 

v ) 

Die Touristengruppe WWA möchte den Gipfel besteigen ! 

Brauchen sie einen Bergführer ? 

z ) 

Berechnen sie die Höhe , auf der ein möglichst hoch gelegener , frei zugänglicher ( ohne Bergführer !!! ) inftomationspunkt höchstens sein darf 

Comments

Mein Ansatz ist die Länge des intervalls hier 1,5 

In die Formel der mittlere Änderungsrate einsetzen 

und die 60° in Tan^-1     

^{= 89} 

^{Die 89 setze ich in die Formel f ( x ) =  x^-1} 

Ich hoffe ihr könnt mich korrigieren 

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Ist mein Ansatz korrekt ?

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EDIT: Achtung. 89 als Steigung kann nicht stimmen. 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=tan%2860°%29+

tan(60°) = √3 ≈ 1.73205

Du solltest einen Taschenrechner auf DEG eingestellt haben. Und tan ist vermutlich eine eigene Taste. 

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Hi , 

ich habe es nochmal überprüft aber es kommt 89 raus ganz sicher du musst wahrscheinlich was falsch haben ...

Ich denke dir Rechnung von mir ist falsch bzw. Sie beantwortet nicht die Frage .:'( 

Hoffe du kannst mir weiter helfen um auf Lösung für die Aufgabe zu kommen 

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Wolframalpha macht das nicht falsch. Das liegt schon an deiner Taschenrechnereingabe. 

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Lu,
unten die Grafik von 1/x.
Wo ist dort ein Steigungswinkel von 60 ° zu finden ?

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Die Wandergruppe startet von unten P(2| 0.5). Gipfel ist bei Q(0.5 | 2) . Das ist im angegebenen Intervall so vorgegeben. 

60° Steigung erlebt sie bei der Steigung m= -0.808449. 

Answer 1

~plot~ 1 / x ~plot~

Die Funktion ist überall fallend.
Sie kann mathematisch gar keinen Steigungswinkel 60 ° haben.
Ist, von links nach rechts gehend, vielleicht der Winkel -30 ° gemeint ?

Comments

Nein , 

die Abbildung sieht genau so aus wie in deiner Grafik aber nur oben rechts also I-Quadrant

rechts oder links fallend steht nicht dar :':-(

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Die Grafik zeigt die Funktion f ( x ) = 1 / x.

Falls möglich stelle bitte die Abbildung im Buch ein.

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Falls die Skizze stimmt wäre die Berechnung.

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Das ist die Abbildung 

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Wieso ist denn die 60° bei dir negative , also -60 °  ?

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Außerdem ist das etwas merkwürdig mit deinen Ergebnis in deiner rechnung 

1,73 = x^-2   

Müsste nicht für x der Wert 0,33 erscheinen , da 1,73^-2   = 0,33 ergibt ?

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1.) Der im Bild gezeigt Berg ist nicht die Funktion
f ( x ) = 1 / x. Dies trifft nur auf die rechte Seite zu.

Der Berg hat die Funktion
f ( x ) = abs ( 1/x )

~plot~ abs ( 1/x ) ~plot~

Für x < 0 gilt
f ( x ) = - 1/x

1.Ableitung
f ´( x )  = 1 / x^2

Da der Steigungswinkel mit 60 ° ( also positiv ) angegeben ist
gilt er für die linke Seite ( Steigung positiv ).

m = tan ( 60 ) = 1.73

f ´( x ) = 1.73 muß es bei dir heißen
nicht
f ( 1.73 ) = ...

f ´ ( x ) = 1 / x^2 = 1.73
x = ± 0.76

Die Eingangsvoraussetzung für die Berechnungen war
x < 0. Daher das Ergebnis
x = -0.76
Da der Berg symmetrisch ist gilt die bereits zuvor berechnete
Höhe von 1.32 oder 1320 m.

mfg Georg

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georgborn: Deine Rechnung kann ich bestätigen und deckt sich mit meiner. Doch: 

Du übersiehst immer noch die Intervallbegrenzung in der Aufgabenstellung:

"mit dem Intervall

 [ 1/2 ≤ x ≤ 2 ] durch die Funktion f ( x ) = x^{-1 "}.

Es geht um eine Wanderung von den beiden Bäumen rechts in Richtung Gipfel. 

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Stimmt.

Dann bleibe ich bei meiner Aussage : auf der rechten Seite im angegeben
Intervall hat die Funktion  keinen Steigungswinkel von 60 ° mathematisch
gesehen. Und in der Mathematik sind wir ja hier.

Schöne Grüße aus dem großen Kanton im Norden.

mfg Georg

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Die wandern halt von Osten her auf den Berg. Das ist kein mathematischer sondern ein reeller Aufstieg.  Aber du darfst bei der mathematischen Sichtweise bleiben. 
Gruss zurück in den Norden

Answer 2

Hier mal eine Skizze:

~plot~1/x;x=1/2;x=2;-1.73205x+2,6~plot~

Das Profil des Berges ist nur im Bereich zwischen der roten und der grünen Linie relevant. Die Wanderguppe beginnt unten bei Punkt P(2 | 0.5).

Die violette Linie mit der maximalen Steigung ohne Führer habe ich von Auge mit der von mir berechneten Steigung reingepasst. Wenn du nachmisst, solltest du einen Winkel von 60° sehen. (Das Gitternetz sollte aus Quadraten bestehen). 

Nun solltest du f(x) = x^{-1} ableiten und die Ableitung gleich -0.808449 setzen. So kommst du auf den skizzierten Berührpunkt. Bis zu diesem Punkt kann die Gruppe ohne Führer ansteigen. Ganz bis zur Spizze müsste sie einen Führer haben. 

Comments

Wieso ist denn die Steigung gleich -0,808449 ? 

Ich hoffe du kannst mir helfen möchte alles so gut wie möglich verstehen :) 

Habe auch das Bild nochmal von der Abbildung hochgeladen 

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Ich habe soeben nochmals nachgerechnet und das oben inzwischen korrigiert.

m = tan(60°) = 1,73205

Der arctan hat da nichts zu suchen.

Im Koordinatensystem liegt negative Steigung vor. 

Daher m =  -1,73205 genommen. 

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Das ist die Abbildung zur der Aufgabe

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Dein Bild habe ich schon gesehen. 

Die 2 Bäume sind ungefähr dort, wo bei mir in der Zeichnung die grüne Linie ist. Startpunkt der Wanderung in Richtung Berggipfel. 

Die rote Linie bei x=0.5 ist auch bei dir eingezeichnet. 

Lies nun bitte nochmals alles genau durch. 

Meinen Text und dann die Rechnung von georgborn. 

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Aso ok ,

Also ich habe wie du mir gesagt hast die funktion von f(x) abgeleitet 

f ´(x) = -x^-2   erhalten und - 1,73 eingesetzt , als Ergebnis habe ich -0,33 erhalten  

Wie kann ich denn jetzt begründen ob die Gruppe einen Bergführer braucht oder nicht ? 

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Ich weiß nicht weiter irgenwie habe ich einen Denkfehler oder ich verwende die falsche Formel 

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f(x) = x^{-1}

f ' (x) = -x^{-2} 

Ausserdem im Berührpunkt wegen dem Winkel

f ' (x) = -1.73...

Beides gleichsetzen

- x^{-2} = - 1.73

x^{-2} = 1.73

1/x^2 = 1.73

1/1.73 = x^2

√(1/1.73) = x

Nun besser tan(60°) einsetzen (Rundungsfehler vermeiden)

√(1/tan(60°)) = x = 0.7598 

Das ist der x-Wert des Berührungspunktes und da 0.7598 > 0.5 darf die Wandergruppe ohne Führer nicht bis zum Gipfel wandern. 

Für die "Höhe" auf der die Infoplattform zu stehen hat rechnest du.

f(0.7598 ) = 1/0.7598  = 1.31613 

Kontrolle im Graphen:

~plot~1/x;x=1/2;x=2;-1.73205x+2,6; 1.31613 ; x=0.7598~plot~