Geschwindigkeit ; Fahrzeug

Question

Aufgabe:

Fahrzeug beschleunigt aus Stand.

a(t):= 10-0,5*t + 0,005*t^2 (m/s^2)

Integral

v(t):= 1/600 *t^3 - 1/4*t^2 + 10*t

Problem/Ansatz:

1) Ermittle Zeitpunkt, zu dem das Fahrzeug mit max Geschwindigkeit fährt

a(t)=0

t= 27.64 t= 72.36

2) Ermittle die Höchstgeschwindigkeit

v(27.64) = 120.6

v(72.36) = 46.07 -> Max

3) Gib den Weg zur Erreichung der Höchstgeschwindigkeit an

Was heißt das? Wie mache ich das?

Stimmt soweit alles?

Comments

Wieso setzt man bei der ersten Aufgabe die Gleichung gleich null?

die erste ableitung der Geschwindigkeit v ist die Beschleunigung a

An der Stelle v = max ist die Beschleunigung
a = 0.

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Können sie mir erklären wieso die extremwerte den wert 0 haben müssen?

Nicht die Extremwerte sind dort null sondern die
Steigung

Bei einem Extremwert geht die Steigung von
steigend nach fallend ( positiv nach negativ, Maximum ) oder von fallend nach steigend ( negativ nach positiv ) Minimum .

Beim Extremwert ist die Steigung null.

Answer 1

Hallo Luisa,

1) Ermittle Zeitpunkt, zu dem das Fahrzeug mit max Geschwindigkeit fährt

a(t)=0

bei  t_max = 27.64   Maximum, weil die zweite Ableitung von v(t) [ a'(27.64)]  < 0  ist

bei  t = 72.36  Minimum ...

2) Ermittle die Höchstgeschwindigkeit

v_max =  v(27.64) = 120.6  [m/s]   

  lokales Maximum (!) , wenn er immer weiter fährt, wird die Geschwindigkeit beliebig groß.

v(72.36) = 46.07 -> Max ( lokales Min!)

3) Gib den Weg zur Erreichung der Höchstgeschwindigkeit an
      Was heißt das? Wie mache ich das?

s(t_max)  =  \( \int\limits_{0}^{t_{max}} v(t) dt ≈ 2303,27 m\)

ist die Wegstrecke, die bis zum Erreichen von v_max zurückgelegt wird (da für t>0   v(t) ≥ 0 ist!)

Gruß Wolfgang

Comments

Wieso setzt man bei der ersten Aufgabe die Gleichung gleich null?

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a(t) ist die Ableitung von v(t). Diese muss bei Extremwerten den Wert 0 haben.

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Können sie mir erklären wieso die extremwerte den wert 0 haben müssen?

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Nicht die Extremwerte! Für einen Extremwert der Geschwindigkeit v(t) muss deren Ableitung a(t) (Beschleunigung) den Wert 0 haben.

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Ja, aber wieso den null? Wenn ich den Zeitpunkt berechnen will in dem das Fahrzeug die maximale Geschwindigkeit fährt... wieso muss ich sie nullsetzen?

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Du setzt nicht die Geschwindigkeit v(t) = 0 sondern deren Ableitung v'(t)  [ = a(t) ], um die Extremstellen von v(t) [Maximum!] zu finden.

Das habe ich jetzt aber wirklich oft genug klargestellt !!

Answer 2

a(t) = 0.005·t^2 - 0.5·t + 10

Solange die Beschleunigung a positiv ist beschleunigt das Fahrzeug. Ist die Beschleunigung negativ bremst es ab. Nach ca. 27.64 s ist die Beschleunigung vorbei und das Fahrzeug hat die höchste Geschwindigkeit. Danach fängt es an zu bremsen.

v(t) = t^3/600 - t^2/4 + 10·t
v(50 - 10·√5) = 120.6 m/s

s(t) = t^4/2400 - t^3/12 + 5·t^2
s(50 - 10·√5) = 2303 m