Berechnung des Rotationsvolumina

Question

Berechnen Sie das Rotationsvolumen welches entsteht, wenn das zwischen zwei benachbarten Nullstellen des Graphen f(x)=x³-3x²+2x befindliche Kurvenstück um die x-Achse rotiert. Stellen Sie den Drehkörper graphisch dar.

Vielen Dank schon mal.

Answer 1

Die Nullstellen sind 0,1,2

f(x)= x³-3x²+2x
A ( x ) = [ f ( x ) ]^2 * π
A ( x ) = ( x³-3x²+2x )^2 * π
∫ ( x³-3x²+2x )^2 * π  dx
π * ∫ ( x³-3x²+2x )^2   dx

am besten die Klammer ausmultiplizieren

π * ∫ x^7 / 7 - x^6 + 13 * x^5 / 5 - 3 * x^4  + 4/3 * x^3 dx

Stammfunktion bilden

S ( x ) = π * ( x^8 / ( 7 * 8 ) - x^7 / 7 + 13 * x^6 / ( 5 * 6 ) - 3 * x^5 / 5 + 4/3 * x^4 / 4

Ich würde jetzt die benachbarten Nullstellen 0 und 1 nehmen da x = 0
wegfällt

S ( 1 ) = π * ( 1^8 / ( 7 * 8 ) - 1^7 / 7 + 13 * 1^6 / ( 5 * 6 ) - 3 * 1^5 / 5 + 4/3 * 1^4 / 4

8 / 105 ( sagt mein Matheprogramm )

Bei Fragen wieder melden.

Comments

Danke erstmal und wie sieht der Graoh ungefähr aus?

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Stammfunktionen zu bilden scheint dir ja Spaß zu machen.
Ohne Mathe-Programm ergibt sich etwa 0,24.

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am besten die Klammer ausmultiplizieren

π * ∫ x⁷ / 7 - x⁶ + 13 * x⁵ / 5 - 3 * x⁴  + 4/3 * x³ dx

hast du nicht irgendwie ein x zuviel ???

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hier der Graph

Fehlerkorrekturen

beim Ergebnis muß es nicht heißen

8 / 105

sondern

8 / 105 * π

die Klammer ausmultiplizieren ergibt

π * ∫ x^6 - 6 * x^5 + 13 * x^4 - 12 * x^3 + 4 * x^2  dx

Schaffst du es die Rechnung durchzuführen ?

Ansonsten wieder melden.

mfg Georg

Answer 2

Die Nullstellen sind 0  1  und  2
Also z.B. zwischen 0 und 1 ist das Volumen
$$V\quad =\quad \pi \int _{ 0 }^{ 1 }{ { ({ x }^{ 3 }-2{ x }^{ 2 }\quad +\quad 2x) }^{ 2 }dx }  $$

$$V\quad =\quad \pi \int _{ 0 }^{ 1 }{ { (x }^{ 6 }-4{ x }^{ 5 }+{ 8x }^{ 4 }-8{ x }^{ 3 }+4{ x }^{ 2 })dx } $$


= 43/105 * pi

Comments

Hast du da nicht irgendwie ein x² zu viel ?