Integral mit einem Parameter k als obere Grenze. Untere Grenze ist 0.

Question

Integral mit einem Parameter k berechnen:

\( \begin{array}{l} \int \limits_{0}^{k}\left(x^{2}+\frac{1}{3}\right) d x=\frac{2}{3} k^{2}=\left[\frac{1}{3} x^{3}+\frac{1}{3} x\right]_{0}^{k}=\frac{1}{3} \cdot k^{3}+\frac{1}{3} \cdot k-\left(\frac{1}{3} \cdot 0^{3}+\frac{1}{3} \cdot d\right) \\ \frac{1}{3} k^{3}+\frac{1}{3} \cdot k-0=\frac{1}{3} k^{2} \\ \frac{1}{3} k=-\frac{1}{3} k^{3}+\frac{2}{3} k^{2} \\ k=-k^{3}+2 k^{2} \end{array} \)

Ich komme nicht weiter. Was muss ich jetzt machen?  Hab ich richtig gerechnet?

Answer 1

2/3 k^2 ist falsch.

Nachher rechnest du aber richtig bis 1/3 k^3 + 1/3 k. Fertig.

Weiterhin hat 2/3 k^2 dort nichts zu suchen.

Answer 2

Entweder lautet die Aufgabenstellung

Integral = 0
oder
Integral = 2/3 * k^2

Für Integral = 0 gibt es kein k.
( außer der 0 als obere Grenze )

Für Integral = 2/3 * k^2 geht es bis

k^3 / 3 + 1/3 * k = 2/3 * k^2
k^3 / 3 - 2/3 * k^2 + 1/3 * k = 0
k * ( k^2 / 3 - 2/3 * k + 1/3 ) = 0
Ein Produkt ist dann 0 wenn mindestens 1 der Faktoren 0 ist.
k = 0
und
k^2 / 3 - 2/3 * k + 1/3 = 0
k = 1

Ich hoffe ich habe dir weitergeholfen.

mfg Georg

Answer 3

Hi, ich nehme an, die zuerst notierte Integralgleichung über k ist gemeint und soll gelöst werden:

$$ \int_{0}^{k}\left(x^2+\frac{1}{3}\right)\text{d}x=\frac { 2 }{ 3 }k^2\quad|\cdot3 $$$$ \int_{0}^{k}\left(3x^2+1\right)\text{d}x = 2k^2 $$$$ k^3+k = 2k^2 $$$$ k^3-2k^2+k = 0 $$$$ k \cdot \left(k-1\right)^2 = 0 $$$$ k=0 \quad \text{oder} \quad k=1.$$