Umformung von 1/2·u = u·(-2·e^{- t/T} + e^{- 2·t/T}) unklar

Question

Ich habe hier eine Aufgabe, die ich versuche zu lösen. leider gibt es dabei ein Paar Schwierigkeiten...

Bed: t >= 0 //

$$ \frac { 1 }{ 2 } U\quad =\quad U*(-2{ e }^{ -t/T }+{ e }^{ -2t/T }) $$

U & T ist eine Konstante, es soll nach t aufgelöst werden..

// Meine schritte 1. Ausklammern und multiplizieren mit U

Dann * 2  und geteilt durch 4.. hört sich merkwürdig an, sieht aber recht gut aus:

$$ \frac { 1 }{ 4 } \quad =\quad \frac { 4{ e }^{ -t/T } }{ 4 } -\frac { 2{ e }^{ -2t/T } }{ 4 }  $$

Als nächstes ln:

$$ ln(\frac { 1 }{ 4 } )\quad =\quad ln(-t/T)\quad -\quad \frac { ln(-2t/T) }{ ln(2) }  $$

$$ n(\frac { 1 }{ 4 } )\quad =\quad -t/T\quad -\quad \frac { -2t/T }{ ln(2) }  $$

Ich komme im weiteren Verlauf auf einen negativen Wert*T = t

Es wäre schön, wenn mir jemand weiterhelfen könnte. Danke sehr !

Answer 1

1/2·u = u·(-2·e^{- t/p} + e^{- 2·t/p})

1/2 = -2·e^{- t/p} + e^{- 2·t/p}

z = e^{- t/p}

1/2 = -2·z + z^2

z = 1 - √6/2 ∨ z = √6/2 + 1

z = e^{- t/p}

-t/p = LN(z)

t = - p·LN(z)

t = - p·LN(1 - √6/2) --> Keine Lösung

t = - p·LN(√6/2 + 1) = - 0.7996422444·p

Comments

z = e^{- t/p}

^{// Das ist eine sehr gute Idee. Ich hab das auch soweit ausgerechnet nur leider darf p bei dir als t bei mir nicht negativ sein.}

^{Aber vielleicht hilft der gesamte Kontext besser: ist die iii}

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Die Antwort des Mathecoachs ist richtig.
Der Fachmann sah das eine binomischen Formel
vorhanden war.

Warum der Mathecoach T durch p ersetzt hat weiß ich nicht. Ergebnis

t = - T * 0.8

Was bedeutet T und ist dieser Wert stets negativ ? Dann passt alles.

mfg Georg

Answer 2

Du hast einen oft gemachten Fehler gemacht:

Wenn du auf beiden Seiten den ln anwendest

hast du

ln(1/4) = ln ( e ^{-t / T}  -   e ^-2t/T / 2 )

und auf der rechten Seite darfst du nicht einfach den

ln auf Minuend und Subtrahend einzeln anwenden.

Eine Alternative ist die Lösung vom Mathecoach.

Comments

Wenn ich dies anwende komme ich auf:

(ln(1/4)*2T)/4 = t

t ist dann aber leider negativ, und es sollte doch positiv sein?

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Du hast die 1 in deiner Aufgabe vergessen. Setze das noch ein. Das sollte die richtige Lösung geben.

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Ich habe doch nochmal eine Frage zur Umformung: (Ich komme nicht auf das Ergebnis von Mathecoach)

Wir haben doch $$ \frac { 1 }{ 2 } U\quad =\quad U(1-2{ e }^{ -t/T }+{ e }^{ -2t/T }) $$

| :U

$$ \frac { 1 }{ 2 } \quad =\quad 1-2{ e }^{ -t/T }+{ e }^{ -2t/T } $$

-1

$$ -\frac { 1 }{ 2 } \quad =\quad -2{ e }^{ -t/T }+{ e }^{ -2t/T } $$

* -1/2

$$ \frac { 1 }{ 4 } \quad =\quad { e }^{ -t/T }-\frac { { e }^{ -2t/T } }{ 2 }  $$

ln()

$$ ln(\frac { 1 }{ 4 } )\quad =\quad \frac { -t }{ T } -\frac { \frac { -2t }{ T }  }{ 2 }  $$

$$ ln(\frac { 1 }{ 4 } )\quad =\quad \frac { -t }{ T } -\frac { -2t }{ 2T }  $$

Beim Gleichnahmig machen passiert nun folgendes:

$$ ln(\frac { 1 }{ 4 } )\quad =\quad \frac { -2t }{ 2T } -\frac { -2t }{ 2T }  $$

und dann fällt unser t weg...

Da steckt irgendwo ein Fehler, es wäre sehr hilfreich wenn mir jemand sagen könnte, wie es richtig aussehen sollte. Danke

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Du hast wieder den Fehler mit dem ln gemacht.

Aus   1/4 = e ^-t/T   -  e ^-2t/T  / 2

kommst mit dem ln nicht weiter. Du hast wieder

auf jeden einzeln den ln angewandt, das ist aber falsch;

denn für ln (a+b) gibt es keine Formel, nur ln (a*b) = ln(a) + ln(b).

Deshalb war die Idee eine Substitution. Du setzt  z =   e ^-t/T

Dann ist    e ^-2t/T  = (  e ^-t/T  )^2 = z^2

Und dann kannst dann einsetzen und hast 1/2 = -2·z + z²  

Diese Gleichung löst du ( mit pq-Formel , quadr. Ergänzung oder so)

und erhältst   wie der Mathecoach  z = 1 - √6/2 ∨ z = √6/2 + 1

Jetzt musst du natürlich das Ersetzen mit dem z wieder rückgängig machen

und bekommst

e ^-2t/T  =  1 - √6/2        oder          e ^-2t/T  =  1 - √6/2

Diese beiden Gleichungen kannst du jetzt mit dem ln behandeln

-2t/T = ln( 1 - √6/2  )       oder           -2t/T  =  ln(1 - √6/2  )

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Danke, das war jetzt die Lösung, die ich gebraucht habe (Bzw. die Erklärung). Ich hatte eigentlich (wie man sieht) gedacht, es wäre auch eine Lösung mit ln() auf meine Weise Möglich, dem ist aber nicht so.

Danke !

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@Mathef
der Vollständigkeit halber

und erhältst   wie der Mathecoach  z = 1 - √6/2 ∨ z = √6/2 + 1
Jetzt musst du natürlich das Ersetzen mit dem z wieder rückgängig machen
und bekommst

  e ^-2t/T  =  1 - √6/2        oder          e ^-2t/T  =  1 - √6/2 

Die Terme sehen aber gleich aus. Besser

  e ^-2t/T  =  1 - √6/2        oder          e ^-2t/T  =  1 + √6/2 

Da die e-Funktion stets positiv ist entfällt der erste Term und braucht nicht
weiter untersucht werden.

mfg Georg

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Danke, war ich wieder mal was flott.