Aufgabe:
Jeder positiven ganzen Zahl \( n \) wird ein Muster aus Sternchen wie folgt zugeordnet: In einem quadratischen Gitternetz befinden sich beim \( n \)-ten Muster \( 2 n-1 \) Sternchen auf horizontal benachbarten Gitterpunkten. Die weiteren Sternchen befinden sich derart auf Gitterpunkten, dass sich ein quadratisches Muster ergibt, bei dem diese \( 2 n-1 \) Sternchen die horizontale Diagonale bilden. Für \( n=1,2,3 \) sind die Muster in der Abbildung dargestellt.
a) Zeichne das Muster für \( n=4 \). Gib die Anzahl der Sternchen in diesem Muster an.
b) Ermittle die Anzahl der Sternchen im Muster für \( n=10 \).
c) Ermittle eine Formel, mit deren Hilfe man die Anzahl der Sternchen für jedes beliebige \( n \) ausrechnen kann. Berechne mit dieser Formel die Anzahl der Sternchen für \( n=30 \).
d) Untersuche, ob es eine Zahl \( n \) derart gibt, dass das \( n \)-te Muster 318 Sternchen mehr enthält als das vorangegangene Muster.
Ansatz/Problem:
Da ich dazu keine Lösungen finde, wollte ich wissen ob ihr meine Lösungen kontrollieren könntet.
a) Bei a hatte ich 25 Sterne gezählt.
b) Ich bin mit der Formel, die ich in c) herausgefunden hatte, auf 181 gekommen.
c) Ich habe hier 2 Formeln gefunden. Bei der ersten muss man die vorherige Anzahl Sterne wissen, die zweite ist Allgemeingültig.
Anzahl Sterne = S InI = Anzahl Sterne vom n-ten Muster
(1) S=In-1I+4(n-1)
(2) S=2(n-1)*n+1
hier noch vereinfacht:
(2) S=2n^2-2n+1
Mit dieser Formel, bin ich darauf gekommen, das bei n=30, die Anzahl Sterne 1741 ist.
d) Hier bin ich auf diese Gleichung gekommen: 2(n-1)*n+1-318=2(n-2)*(n-1)+1, da n dann 80,5 gibt es keine Zahl n derart