Abstand Punkt Ebene - Vektoren

Question

Ich Habe das Problem, dass ich eine Ebene E und den Abstand d zu einem Punkt P kenne, es gilt den Punkt P zu errechnen.

Bisher hab ich das nur andersherum gemacht, indem ich die Ebene E und den Punkt P gegeben hatte und d als Abstand berechnen musste!

Ausserdem ist der Punkt S auf der Ebene bekannt, durch den die Lotgerade die Ebene E durchstößt.

Hab es mal skizziert:

Kurzfassung:

Punkt P ist unbekannt und muss berechnet werden! Ich wüsste gerne allgemein ausgedrückt, wie ich dies berechne :)

Vielen Dank schonmal für eure Ideen!

Terbsen

Answer 1

Wenn du die Ebenengleichung hast, kannst du einen Normalenvektor der Ebene
bestimmen.  Dessen Länge machst du durch Multiplikation mit einer geeigneten
Zahl so, dass er genua so lang ist, wie der Abstand von P zu E.  Dann hast du einen Vektor n,
der genau von S nach P zeigt.

Also rechnest du Ortsvektor von S + Vektor n und es kommt raus der
Ortsvektor von P.   Wenn du bei n alle Vorzeichen änderst, geht es auch;
denn es gibt ja auf jeder Seite von E so einen Punkt P.

Comments

Super! Danke für die ausführliche Antwort, ich probier es direkt mal aus :-)

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Ich habe nun das ganze mal bis zum n-Vektor berechnet, dieser lauter (0|0|-16)!

Hab ich das nun richtig verstanden, dass ich diesen Vektor nun mit dem schon gegebenen d (16) multiplizieren muss?

Damit hätten wir ja (0|0|-256) als Vektor SP

Bin ich da bis zu diesem Punkt richtig? (entschuldige die falsche Schreibweise der Vektoren, es ist die Parameterform gemeint)

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Vektor SP = (-0|-0|256)

Schnittpunkt S = (7/2/2)

SP + S = Ortsvektor P = (7|2|258)

Wäre das Richtig?

Zusatz: Hab die Vorzeichen geändert, weil Punkt P laut Aufgabenstellung über der Ebene liegt)

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Wenn der Normalenvektor (0/0/16) ist, brauchst du nichts mehr zu

multiplizieren, der hat ja schon die Länge 16.

Ohne die Ebenengleichung kann man schlecht entscheiden ob der

Normalenvektor richtig ist.

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n-Vektor stimmte, hab das mit einem Kommilitonen abgeglichen!

Aber Tip Top, danke für die Antworten :)

Einen schönen Abend noch!