Lineare Gleichung mit 2 Unbekannten. Wieviele Lösungen gibt es?

Question

Wieviele Lösungen besitzt das Gleichungssystem ?
1.
1/2 x (einhalb) - 2/3 y (zweidrittel) = 5/6 (fünfsechstel)        
3x - 4y = 5

2
6x - 8y = 2      
3/2 x - 2y = 1
 
3.
2x - 6y = 4     
3x - 9y = 6

 

Bitte mit superausführlichen Rechenweg für wirklich mathematisch Unterbegabte

und mit Graph

Ich versteh das einfach nicht :-(

Answer 1

Hi jodeljette,

ich versuch mich mal. Du gibst Bescheid, wenn was unklar ist.

 

Ich selbst bevorzuge das Gleichsetzungsverfahren, weswegen ich es auch hier verwende:

Nach -4y auflösen:

1/2*x - 2/3*y= 5/6      |-1/2*x

3x - 4y = 5                  |-3x

 

- 2/3*y= 5/6-1/2*x      |*6 (denn -2/3*6=-4)

- 4y = 5-3x

 

- 4y= 5-3x     

- 4y = 5-3x

 

Wir brauchen gar nicht weiterzurechnen. Beide Gleichungen sind identisch. Da beide Gleichungen jeweils Geraden darstellen und diese ja identisch sind, hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.

 

 

Nach -8y auflösen:

6x - 8y = 2              |-6x    

3/2 x - 2y = 1         |-3/2*x

 

-8y=2-6x

-2y=1-3/2*x            |*4

 

-8y=2-6x

-8y=4-6x          

 

Man erkennt schon, dass die Steigung die Gleiche ist (der Faktor vor dem x ist gleich).

Nur der "y-Achsenabschnitt" ist anders. Folglich sind die beiden Geraden nicht identisch, aber parallel. Es gibt keine Lösung für dieses Gleichungssystem (also auch keinen Schnittpunkt).

 

 

Man kann schon wieder erahnen, dass es sich um identische Geraden handelt.

2x - 6y = 4     

3x - 9y = 6

Überprüfung, indem ich die letzte Gleichung durch 3 Teile und mit 2 multipliziere:

3x - 9y = 6   |:3

x-3y=2         |*2

2x-6y=4

 

Tatsächlich: Beide Gleichungen sind identisch, damit auch die Geraden und es gibt unendlich viele Lösungen.

 

Grüße

Comments

An den Schaubildern darfst Du Dich gerne selbst probieren.

Löse dafür nach y auf. Eine Wertetabelle ist auch oft hilfreich ;).

Answer 2

Du brauchst nur die Anzahl der Lösungen, musst also die Lösungen gar nicht explizit berechnen.

Da es sich um lineare Gleichungen handelt, deren Graphen Geraden sind, gilt:

Sind die Steigungen verschieden, gibt es genau eine Lösung.

Sind die Steigungen gleich, verlaufen die beiden Geraden parallel. Nur in dem Fall, wo sie zusammenfallen (aufeinander liegen) gibt es Lösungen, nämlich unendlich viele, die gesamte Gerade. Wenn sie nicht zusammenfallen, gibt es keine Lösung.

Steigungen sind genau dann gleich, wenn die Koeffizienten (Zahlen vor x und y) von x und y im gleichen Verhältnis stehen.

1.
1/2 x (einhalb) - 2/3 y (zweidrittel) = 5/6 (fünfsechstel)        |*6
3x - 4y = 5

3x -4y = 5
3x -4y = 5
--------------Subtraktion
       0=0

2 mal dieselbe Gerade: unendlich viele Lösungen.

2
6x - 8y = 2           |:2
3/2 x - 2y = 1        |*2

3x - 4y = 1      
3x - 4y = 2  
------------------ Subtraktion
          0 = -1       Widerspruch: Also: Es gibt keine Lösung.

 
3.
2x - 6y = 4        |:2
3x - 9y = 6        |:3

x - 3y = 2
x - 3y  = 2 
----------------Subtraktion
      0 = 0

2 mal dieselbe Gerade: Unendlich viele Lösungen