Logarithmusgleichung ln. ln(x) + ln(x+1) + ln(x+2) = ln(2x)

Question

Hey!

Ich berechne gerade folgende Logarithmusgleichung:

ln(x) + ln(x+1) + ln(x+2) = ln(2x)

Habe es durchgerechnet, aber die Lösung schien mir irgendwie zu simpel für 9 Klausurpunkte! Hier mein Lösungsansatz:

ln(x) + ln(x+1) + ln(x+2) = ln(2x) | e^x

x + x+1 + x+2 = 2x | -2x | Zusammenfassen

-2x + 3x +3 = 0 | -3

x = -3

Ist das korrekt?

Vielen Dank schonmal!

Answer 1

ln(x) + ln(x+1) + ln(x+2) = ln(2x)

Habe es durchgerechnet, aber die Lösung schien mir irgendwie zu simpel für 9 Klausurpunkte! Hier mein Lösungsansatz:

ln(x) + ln(x+1) + ln(x+2) = ln(2x) | e^x  Darfst du nur  so machen, wenn links und rechts nur ein ln vorhanden ist.

x + x+1 + x+2 = 2x | -2x | Zusammenfassen

-2x + 3x +3 = 0 | -3

x = -3

Ist das korrekt?

x = -3 kann keine Lösung deiner Gleichung sein, denn

ln(-3) ist nicht definiert.

Fehlerhafte Umformung ist oben gekennzeichnet. Nochmals ab dort:  

ln(x) + ln(x+1) + ln(x+2) = ln(2x) |  Logarithmengesetze anwenden

ln (x(x+1)(x+2)) = ln(2x)  | e^x 

x(x+1)(x+2) = 2x

x(x+1)(x+2) - 2x = 0

x((x+1)(x+2) - 2) = 0

x1 = 0, nicht in L, da ln(0) nicht definiert.

((x+1)(x+2) - 2) = 0

x^2 + 3x + 2 - 2 = 0

x^2 + 3x = 0

x(x+3) = 0

gibt jetzt nochmals x2 = 0 und (zufällig?) wieder x3=-3. Alle 3 Resultate sind Scheinlösungen.

==> L = {..} leere Menge.

Comments

Okay, ich vermute, dann ist der erste Schritt schon falsch und ich würde dann die Logarithmusgesetze betrachten.

also würde es dann ln(a) + ln(b) = ln(a*b) lauten.

Wäre dies der richtige Ansatz?

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Richtig. Ich habe oben inzwischen wie vorgeschlagen gerechnet und komme dennoch zum Schluss auf L={..} "leere Menge".

WolframAlpha macht hier einen Fehler und behauptet, dass x=0 eine Lösung sei. Das ist in R nicht möglich. https://www.wolframalpha.com/input/?i=ln%28x%29+%2B+ln%28x%2B1%29+%2B+ln%28x%2B2%29+%3D+ln%282x%29+%7C

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Hui okay!

Dann an diesem Punkt schonmal einen großen Dank für deine Bemühungen, das ist natürlich knackig für eine Klausuraufgabe :-D

Sollte dir diesbezüglich doch noch was einfallen, würde ich mich freuen, es mir zu schreiben :-)

Einen schönen Abend noch!

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Bitte. Gern geschehen.

Ich bin mit meinem Latein am Ende. Mein Rechenweg sollte stimmen. Aber vielleicht findest du ja noch einen Rechenfehler.

Answer 2

$$ ln(a+ib)+ln(a+1+ib)+ln(a+2+ib)=ln(2a+i2b) $$
$$ ln\left((a+ib)(a+1+ib)(a+2+ib)\right)=ln(2a+i2b) $$
$$ (a+ib)(a+1+ib)(a+2+ib)=2a+i2b $$
$$a^3+3a^2 (1+ i b)+a (-3 b^2+6 i b+2)-i b (b^2-3 i b-2)=2a +ib$$
$$a^3+3a^2 +i3a^2   b-3 ab^2+i6 a b+2a-i b^3+3  b^2-i2b=2a +ib$$
Trennung Re und Im
$$a^3+3a^2 b-3 ab^2+2a+3  b^2=2a $$
$$i3a^2   b+i6 a b-i2b=ib$$
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$$a^3+3a^2 b-3 ab^2+3  b^2=0 $$
$$3a^2   b+6 a b-3b=0$$
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$$(3a^2 +6 a -3)b=0$$
===>b=0 also kein Imaginärteil und daher Realteil =0, was aber wg. Definition des ln in R nicht so sinnvoll ist. Erweitert man die ln-Funktion auf C, dann ist das Ergebnis von wolfi nicht falsch ...
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$$3a^2 +6 a -3=0$$
$$3 (a^2 +2 a -1)=0$$
$$a^2 +2 a -1=0$$
$$a^2 +2 a -1+1-1=0$$
$$a^2 +2 a +1-2=0$$
$$a^2 +2 a +1=2$$
$$(a +1)^2=2$$
$$a +1=\pm \sqrt2$$
$$a =-1\pm \sqrt2$$