Question

Eine Pyramide hat als Grundfläche ein Dreieck ABC und die Spitze D. Die Gerade h geht durch D und ist orthogonal zur Grundfläche.

Bestimmen Sie für A (5/0/0), B (2/5/1), C (-2/2/2) und D (7/4/10):

a) eine Gleichung der Geraden h

b) den Fußpunkt F von h

c) die Höhe der Pyramide

d) das Volumen der Pyramide

Answer 1

A (5/0/0), B (2/5/1), C (-2/2/2) und D (7/4/10)

Du brauchst erst Mal die Ebenengl. für die Grundfläche

x = (5/0/0) + r* ( (2/5/1)- (5/0/0) ) + s* (  (-2/2/2) -  (5/0/0) )

= (5/0/0) + r*  (- 3/5/1) + s* (-7/2/2)

jetzt einen Normalenvektor für diese Ebene, z.B. mit dem Kreuzprodukt

der Richtungsvektoren gibt  n = (8/ - 1 / 29 )

Das ist ein Richtungsvektor von h

also h . x = (7/4/10) + t* (8/ - 1 / 29 )

b) den Fußpunkt F von h      Fazu schneidest du h mit der Grundflächenebene

c) die Höhe der Pyramide    Das ist dann die Länge der Strecke von D zum Schnittpunkt ,

den du in b) ausgerechnet hast.

d) das Volumen der Pyramide
V = 1/3 * G * h      h hast du aus c) und G ist die Dreiecksfläche.

Comments

ist das richtig??

b) D (7/4/10)

E = [x - (5,0,0)] • (8,-1,29)                  g = (7,4,10) + v • (8,-1,29)

8x - y + 29z = 40

8 (7 +8v) -1 (4-1v) + 29 (10 + 29v) = 40

56 + 64v -4 + v + 290 + 841v = 40             v=- 1/3

F (13/3, 13/3, 58/3)

c)  D (7/4/10)

13/3 - 7 = - 2/3

13/3 - 4 = 1/3

58/3 - 10 = 28/3

Höhe = √(- 2/3)² + (1/3)² + (28/3)²                  = 9,71 LE

d) 1/3 Ag •h          = 1/3 • 20,04 FE •9,71 LE             = 64,86 VE

Ag = 1/2 g • h        (5,0,0) + v (-3,5,1)

[x- (-2,2,2)] • (-3,5,1)        -3x + 5y +z = 18

-3(5-8v) + 5(5v) + 1v

-15 + 8v +25v +1v = 18

v= 33/35

(76/35,33/7,33/5)          146/35,19/7,23/5

1/ g•h = 1/2 • √3² + 5² + 1² • √146/35² + 19/7² + 23/5²

= 20,04 FE

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F (13/3, 13/3, 58/3) hier muss es F (13/3, 13/3, 1/3)heißen !

Dann ist h= wurzel(113/3)

und bei der Berechnung der Grundfläche

-3(5-8v) + 5(5v) + 1v

-15 + 24v +25v +1v = 18

v= 33/35    gibt dann Ag= wurzel(906)