Seien A, B, C drei Mengen. Beweisen Sie, dass gilt: (A n B) u (A n C) ⊆ A n (B u C)

Question

Seien A, B, C drei Mengen. Beweisen Sie, dass gilt: (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ⊆ A ∩ (B ∪ C)

 

Ein graphischer Beweis ist nicht erlaubt.

Answer 1

Sei x ∈ (A∩B) ∪ (A∩C), dann ist

1) x ∈ (A∩B)

oder

2) x ∈ (A∩C)

Betrachten wir 1).

Da x ∈ (A∩B), ist x ∈ A und x ∈ B.

Da B ⊆ (B∪C), ist x ∈ (B∪C) und somit folgt: x ∈ A ∩ (B∪C).

Betrachten wir 2).

Da x ∈ (A∩C), ist x ∈ A und x ∈ C.

Da C ⊆ (B∪C), ist x ∈ (B∪C) und somit folgt: x ∈ A ∩ (B∪C).

Damit ist gezeigt, dass (A∩B) ∪ (A∩C) ⊆ A ∩ (B∪C) ist.