Wie rechnet man das Volumen eines Tetraeders aus? (Vektoren)

Question

Aufgabe:

Das Volumen des Tetraeders mit den Ecken

\( \vec{v}_{0}=(1,0,1), \vec{v}_{1}=(2,-1,1), \vec{v}_{2}=(4,2,1), \vec{v}_{3}=(1,1,5) \)

beträgt \( 20 \).

▢ JA
▢ NEIN

Ansatz/Problem:

Wir hatten nicht die Formel, wie man das Volumen eines Tetraeders vektoriell berechnet. Wir hatten das Volumen eines Spates mit Vektoren V= (V1xV2)*V3. doch das ist es nicht.

Comments

Ist diese Formel (siehe Antworten unten) wirklich richtig zur berechnung des volumen eines Tetraeders?

Also ich habe 4 vektoren gegeben (V0;V1;V2;V3) und ich mus das volumen herausfinden.

Ich möchte einfach nur überprufen ob das 100% korrekt ist.

Man hat mir gesagt (siehe Antworten unten) man muss das hier machen:

V1-V0 =B1

V2-V0=B2

V3-V0=B3

Und dann:

Volumen = ((B1 x B2)*B3)/6

Ist diese Formel korrekt? Denn auf meiner Probeklausur steht ein Volumen von 20.

Doch wenn ich das ausrechne kommt mir 20/6 raus, also 10/3. Ist die 6 in der formel korrekt oder nicht?

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Die Formel ist korrekt. Ihre Herleitung kannst du auf zig Seiten finden.

Answer 1

Rechne: V= (V1xV2)*V3 / 6 

und beachte, dass V1 = v1 - v0, V2 = v2 -v0 und V3 = v3 - v0 ist

Answer 2

Du brauchst aus den Punkten einfach nur Richtungsvektoren machen.

v0v1 = [1, -1, 0]

v0v2 = [3, 2, 0]

v0v3 = [0, 1, 4]

V = 1/6·([1, -1, 0] ⨯ [3, 2, 0])·[0, 1, 4] = 10/3