Volumen eines Tetraeders berechnen, der von Vektoren aufgespannt wird

Question

a= \( \begin{pmatrix} -4\\4\\2 \end{pmatrix} \) b= \( \begin{pmatrix} 5\\3\\-4 \end{pmatrix} \) c= \( \begin{pmatrix} 1\\-2\\3 \end{pmatrix} \)

Ich soll das Volumen des Tetraeders berechnen, der aufgespannt wird.

Es fehlt doch ein Vektor oder nicht?

Answer 1

Aloha :)

Das von 3 Vektoren aufgespannte Tetraeder-Volumen ist \(\frac{1}{6}\) des von ihnen aufgespannten Spat-Volumens. Letzteres ist der Betrag der Determinante der 3 Vektoren:$$V=\frac{1}{6}\left|\begin{array}{rrr}-4 & 5 & 1\\4 & 3 & -2\\2 & -4 & 3\end{array}\right|=\frac{1}{6}\left|\begin{array}{rrr}0 & 8 & -1\\0 & 11 & -8\\2 & -4 & 3\end{array}\right|=\frac{1}{6}\cdot2\cdot(-64+11)=-\frac{53}{3}$$Das Minuszeichen gibt Auskunft darüber, dass die 3 Vektoren ein Linkssystem bilden. Das ist aber für das Volumen unerheblich:$$V=\frac{53}{3}$$

Answer 2

1/6·(([-4, 4, 2] ⨯ [5, 3, -4])·[1, -2, 3]) = - 53/3

Das Volumen beträgt 53/3 VE.

Skizze: