Question

Zeigen sie durch Nachweis der Monotonie, dass die Folge (an) konvergent ist. Stellen Sie eine Vermutung über ihren Grenzwert auf und bestätigen Sie diese. an= 1+n/n

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Es gilt$$a_n=1+\frac{n}{n} =1+1=2,$$
und damit \( a_n\leqslant a_m\) für alle \( n,m\in\mathbb{N} \). Also ist die Folge monoton (weil konstant) und der Grenzwert ist trivialerweise \( 2\).

Answer 1

(1+n) / n   = 1/n  +  1 
ist monoton fallend; denn
a_n - a_n+1 = 1/n + 1  - (  1/n+1)  + 1 )  =  1/n  -  1/n+1 =  n+1 - n  / ( n*(n+1)) = 1 / ( n*(n+1)) > 0
für alle n aus IN.

Eine untere Schranke ist 1, also ist an konvergent.

vermuteter GW ist 1

Sei eps > 0. Dann ist  | an - 1 | = | 1/n + 1 - 1 | = | 1/n | = 1/n
und Für n > eps ist   1/n < eps.
Also gibt es zu jedem eps > 0 ein no ( nämlich die nächste ganze Zahl nach 1/eps)
mit aus n>no folgt   | an - 1 | < eps.

Comments

Für n > eps ist   1/n < eps.

Sicher?