Graphische Ermittlung eines Integrales / rechnerischer Nachweis!

Question

Aufgabe: Möchte die Integration eines Graphen/Funktion zeichnerisch ausführen!

Problem/Ansatz:

Siehe Link, untere Problemstellung…: http://www.wichmann.dashosting.de/mathematische%20Basteleien/Integration.html

Graphische Integration

Es soll exemplarisch die Möglichkeit einer graphischen Integration für ein einfaches Beispiel aufgezeigt werden!

folgender Ansatz wird verwendet: f(f(x))=x*f'(f'(x))*k=r(x)*f'(f'(x)), siehe Bild 1! Dabei ist für mein Beispiel r(x)=k*x!

Die Bilder 1 und 2 stellen unterschiedliche Beispiele, der einfachen Anschauung und Konstruktion der Graphen wegen, dar!

Die Herleitung für dieses Beispiel:

f(x)=k/(n+1)*x⁽ⁿ⁺¹⁾=k/(n+1)*x*xⁿ, f'(x)=k*xⁿ, f'(f'(x))=k*kⁿ*x^n*n

f(f(x))=k/(n+1)*(k/(n+1))ⁿ*x^n*(n+1)*k/(n+1)*x⁽ⁿ⁺¹⁾, damit ergibt sich folgende Gleichung:

f(f(x))/f'(f'(x))=r(x)=k/(n+1)⁽ⁿ⁺²⁾*x⁽²ⁿ⁺¹⁾, für dieses gewählte Beispiel!

damit ist f(x)aus f(f(x)) ermittelbar, siehe Bild 2!

Dies ist ein einfaches Beispiel, wie schon gesagt, exemplarisch für eine graphische Integration! Die Funktion f(f(x)) möchte ich als Stützfunktion bezeichnen, da ein Wert den anderen bestimmt und daraus sich die Funktion f(x) ableiten lässt! Die Funktion r(x) muß dabei jeweils für einen anderen Funktionstypen für f(f(x)) modifiziert werden! ( zb. e^x, 1/xⁿ)!!!!

Damit lässt sich ein Integral graphisch/rechnerisch aus r(x) und f'(f'(x)) ermitteln!

Nachweis für r(x) für dieses Beispiel

f'(f'(x))*f''(x)=(f(f'(x)))' Kettenregel, f'(f'(x))*r(x)=f(f(x)) graphische Integration, daraus folgt:

f(f(x))=r(x)*(f(f'(x)))'/f''(x)

f(x)=k/(n+1)*x⁽ⁿ⁺¹⁾, f'(x)=k*xⁿ, f'(f'(x))=k*kⁿxⁿⁿ, f''(x)=k*n*x^(n-1)

r(x)=k/(n+1)⁽ⁿ⁺²⁾*x⁽²ⁿ⁺¹⁾, r(x)/f''(x)=x⁽ⁿ⁺²⁾/((n+1)⁽ⁿ⁺²⁾*n)

(f(f'(x)))'=k/(n+1)*k⁽ⁿ⁺¹⁾*(n²+n)*x^(n2+n-1)

f(f(x))=kⁿ*k²*x^(n2+2n+1)/(n+1)⁽ⁿ⁺²⁾

f(x)=k/(n+1)*x⁽ⁿ⁺¹⁾, f(f(x))=k*k*kⁿ/((n+1)⁽ⁿ⁺¹⁾*(n+1))*x^(n+1)*(n+1)

f(f(x))=kⁿ*k²*x^(n2+2n+1)/(n+1)⁽ⁿ⁺²⁾

Damit wurde gezeigt, daß r(x) für dieses Beispiel graphisch richtig ermittelt wurde!

Ist dies alles richtig? Bert Wichmann!

Answer 1

Hall

für mich völlig unverständlich.

was dabei graphisch ist???

 1. Beispiel: lineare Funktion : umständliche Art die Fläche eines Dreiecks zu bestimmen.

2. andere Bsp. du musst die Stammfunktion kennen um deine a,b.c usw zu bestimmen.

Schreibweise: f(x)=x^2 ->f'(x)=2x jetzt würde man normalerweise f'(f'(x))= f'(2x)=2 setzen, du setzest 2x in die Funktion g(x)=2x dann g(g(x))=2*g(x)=4x,

wie das die Integration von Polynomen vereinfachen soll? schon f(f(x)) ist ziemlich grausig

und dein r(x) macht für mich keinerlei Sinn.

lul

Comments

.....da ist latent etwas herauszuhören.....! Du machst es Dir einfach, mein Freund!

2.Beispiel:

Die Stammfunktion muß nicht bekannt sein, es wird ein Koeffizientenvergleich gemacht....! Die Stammfunktion wird ja abgeleitet und es entsteht f(x), siehe oberes Beispiel des Links!

1.Beispiel: es ging nur um dieses Beispiel auf der aktuellen Mathelounge-Abhandlung

r(x)*f'(f'(x)) ist ein Produkt für f(f(x)) und kann damit graphisch dargestellt werden!

Ich hoffe, dies verstehst Du!!!!!! Wenn Du mir noch einmal so blöd kommst, mache ich gar nichts mehr, .......außer vielleicht Bier trinken! Einen schönen Abend noch in Eurer feinen, "ehrenwerten" Gesellschaft! Bert Wichmann!