Aufgabe:
Eine Gaststätte nimmt in ihre Getränkekarte Wein des Weinguts "Reblaus" auf. Der Gastwirt glaubt, dass dadurch mehr als 25 % seiner Gäste als Getränk Wein bestellen werden. Nach einer Einführungsphase macht er mit 100 Gästen einen Test, um zu überprüfen, ob seine Vermutung zutrifft. Dabei geht er von der Befürchtung aus, dass seine Annahme falsch ist und versucht diese zu widerlegen.
a) Geben Sie die Hypothesen \( \mathrm{H}_{0} \) und \( \mathrm{H}_{1} \) zu diesem Test an.
b) Wie wird die Testgröße festgelegt?
c) Geben Sie den Ablehnungs- und den Annahmebereich des Tests an, wenn der Test mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von \( 95 \% \) durchgeführt werden soll. Hilfe: Benutzen Sie die Tabelle D.7.
d) Wie groß ist das Risiko 1. Art in Teil c) auf \( 10^{-4} \) genau?
e) Von den 100 Gästen haben 32 Gäste Wein bestellt.
Der Besitzer will aufgrund dieses Stichprobenergebnisses aber eine Erweiterung des Vertrages mit dem Weingut entscheiden. Welche Entscheidung müsste er aufgrund des Testergebnisses fallen? Welche Art von Fehler kann er hierbei begehen?
f) Wie groß wäre das Risiko 2. Art, wenn für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gast Wein bestellt, sogar \( p=0,3 \) gilt?
g) Der Gastwirt entschließt sich aufgrund des Ergebnisses dieses Tests, um ganz sicher zu gehen, zu einem neuen Test. Dieses Mal mit 200 Gästen.
Nullhypothese und Gegenhypothese bleiben gleich, die Testgröße wird nur auf \( n=200 \) angepasst. Die Sicherheitswahrscheinlichkeit ist wieder \( 95 \% \).
Finden Sie unter Benutzung der Normalverteilung den Annahme- und Ablehnungsbereich dieses Tests heraus. Formulieren Sie die Entscheidungsregel.
Prüfen Sie zunächst, ob die Normalverteilung als gute Näherung der Verteilung der Testgröße angesehen werden kann.
