Eine Pyramide hat als Grundfläche ein Dreieck ABC und die Spitze D. Die Gerade h geht durch D und ist ortogonal zur Grundfläche. Bestimmen Sie für A(5/0/0), B(2/5/1), C(-2/2/2) und D(7/4/10)
a) eine Gleichung der Geraden h,
E: X = [5, 0, 0] + r·([2, 5, 1] - [5, 0, 0]) + s·([-2, 2, 2] - [5, 0, 0])
E: X = [5, 0, 0] + r·([-3, 5, 1]) + s·([-7, 2, 2])
N = [-3, 5, 1] ⨯ [-7, 2, 2] = [8, -1, 29]
E: X·[8, -1, 29] = [5, 0, 0]·[8, -1, 29]
E: 8·x - y + 29·z = 40
h: X = [7, 4, 10] + r·[8, -1, 29]
b) den Fußpunkt F von h,
8·(7 + 8·r) - (4 - r) + 29·(10 + 29·r) = 40 --> r = - 1/3
X = [7, 4, 10] - 1/3·[8, -1, 29] = [13/3, 13/3, 1/3]
c) die Höhe der Pyramide,
|[7, 4, 10] - [13/3, 13/3, 1/3]| = √906/3 = 10.03
d) das Volumen der Pyramide.
V = 1/6·[8, -1, 29]·([7, 4, 10] - [5, 0, 0]) = 151/3 = 50.33
