Lage Gerade zur Ebene untersuchen

Question

Untersuchen Sie die Lage der Gerade g: x=(1nCr3nCr3) + r(-1nCr2nCr-1) zur Ebene E: x=(4nCr1nCr2) + s(3nCr-2nCr-1nCr) + r(0nCr1nCr-1). Berechnen Sie den Schnittpunkt S falls vorhanden, anderenfalls ermitteln Sie den Abstand der Geraden g von E. 

Answer 1

g: X = [1, 3, 3] + r·[-1, 2, -1]

E: X = [4, 1, 2] + s·[3, -2, -1] + r·[0, 1, -1]

Normalenvektor der Ebene

[3, -2, -1] ⨯ [0, 1, -1] = 3·[1, 1, 1]

Der Richtungsvektor der Geraden ist orthogonal zum Normalenvektor der Ebene. Damit verlauft die Gerade entweder parallel zur Ebene oder in der Ebene

Ebene in Koordinatenform

E: X·[1, 1, 1] = [4, 1, 2]·[1, 1, 1]

E: x + y + z = 7

Abstandsformel

d = (x + y + z - 7) / √(1^2 + 1^2 + 1^2)

Nun den Punkt der Ebene einsetzen

d = (1 + 3 + 3 - 7) / √(1^2 + 1^2 + 1^2) = 0

Die Gerade verläuft in der Ebene.