Lage zweier Ebenen und einer Gerade ist zu untersuchen

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Ebene E₁:

$$\vec{x} =\begin{pmatrix} 1\\0\\-2 \end{pmatrix}+r \begin{pmatrix} 2\\1\\-2 \end{pmatrix}+ s \begin{pmatrix} 3\\1\\0 \end{pmatrix}$$

und E₂: x+ 2y +2z = 4

a) Untersuche die Ebenen auf Orthogonalität

b) Stelle die Gleichung der Geraden auf, die durch P (2, 5, 5) geht und orthogonal zu E₂ ist.

c) Berechne die Punkte von g, die den Abstand 2 zu E₂ haben.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz ist:

zu a): Die beiden Richtungsvektoren von E1 müssen als Linearkombination dargestellt werden können, wenn E1 und E2 orthogonal zueinander sind. Also habe ich folgendes Gleichungssystem aufgestellt:

1 = 2r +3s

2 = r + s

2 = -2r

Diese Gleichungen führen zu einem Widerspruch; also sind die Ebenen nicht orthogonal.

Frage: Gibt es einen einfacheren Lösungsweg?

zu b) Die Gerade ergibt sich aus dem Punkt als Ortsvektor und dem Normalenvektor von E2, der gleichzeitig der Richtungsvektor von g ist:

 $$\vec{x} =\begin{pmatrix} 2\\5\\5 \end{pmatrix}+t \begin{pmatrix} 1\\2\\2 \end{pmatrix}$$

zu c) Kann ich hier die HNF nehmen?

Answer 1

Die beiden Richtungsvektoren von E1 müssen als Linearkombination dargestellt werden können, wenn E1 und E2 orthogonal zueinander sind. Also habe ich folgendes Gleichungssystem aufgestellt:

1 = 2r +3s

2 = r + s

2 = -2r

Du tust das Richtige, beschreibst es aber absolut irreführend. Was du in Wirklichkeit versuchst: Du untersuchst, ob der Normalenvektor von E2 sich als Vektor in E1 darstellen lässt.

b) ist richtig.

zu c) Kann ich hier die HNF nehmen?

Das kannst du machen.

Aber auch, wenn das grundsätzlich richtig ist: Eine Gerade g hast du bisher in der Aufgabe nicht erwähnt. Ist das eine ganz neue Gerade oder die aus Aufgabe b)? Falls letzteres zutrifft, brauchst du keine HNF.

Answer 2

a) Untersuche die Ebenen auf Orthogonalität

Bestimme den Normalenvektor von E1 mit dem Kreuzprodukt

[2, 1, -2] ⨯ [3, 1, 0] = [2, -6, -1]

Prüfe die Normalenvektoren der Ebenen auf Orthogonalität mit dem Skalarprodukt.

[2, -6, -1]·[1, 2, 2] = -12

E1 und E2 sind nicht orthogonal.

b) Stelle die Gleichung der Geraden auf, die durch P (2, 5, 5) geht und orthogonal zu E2 ist.

X = [2, 5, 5] + r·[1, 2, 2]

c) Berechne die Punkte von g, die den Abstand 2 zu E2 haben.

(r + 2) + 2·(2·r + 5) + 2·(2·r + 5) = 4 --> r = - 2

P1 = [2, 5, 5] - 2·[1, 2, 2] + 2/3·[1, 2, 2] = [2/3, 7/3, 7/3]

P2 = [2, 5, 5] - 2·[1, 2, 2] - 2/3·[1, 2, 2] = [- 2/3, - 1/3, - 1/3]

Answer 3

Hallo,

wenn mit g die Gerade von Aufgabe b) gemeint ist, geht es einfacher, wenn du den Richtungsvektor auf die Länge 1 kürzt, indem du ihn durch seinen Betrag 3 dividierst.

Dann musst du noch den Schnittpunkt (0|1|1) zwischen Gerade und Ebene bestimmen und als neuen Ortsvektor verwenden.

Wenn du dann für t +2 und -2 einsetzt, bekommst du die gesuchten Punkte.

:-)