H-Methode bei f(x) = 3x^2 - 4x + 8 Steigung in Punkt P(1|f(1)) ausrechnen.

Question

Ich habe verstanden wie die H-Methode geht und die Schritte kenne ich auch, nur bei diesen Aufgaben blicke ich nicht mehr durch:

Aufgaben h-Methode:

Alle diese Aufgaben können mit dem jeweiligen Punkt oder mit \( \mathrm{x} \) gerechnet werden.

1.) \( f(x)=3 \mathrm{x}^{2}-4 \mathrm{x}+8 \)  \( P(1 \mid f(1)) \)

2.) \( f(x)=-4 \mathrm{x}^{2}+2 \mathrm{x}-5 \)  \( P(2 \mid f(2)) \) \( P(4 \mid f(4)) \)

3.) \( f(x)=0,5 x^{3}+x \)  \( P(4 \mid f(4)) \)

4.) \( f(x)=x^{3}-2 \mathrm{x}^{2} \)  \( P(-1 \mid f(-1)) \)

Lösungen:

\( m=\frac{f(1+h)-f(1)}{1+h-1}=\frac{3 \cdot(1+h)^{2}-4 \cdot(1+h)+8-\left(3 \cdot 1^{2}-4 \cdot 1+8\right)}{h} \)
\( m=\frac{3-\left(1+2 h+h^{2}\right)-4-4 h+8-3+4-8}{h} \)
\( m=\frac{3+6 h+3 h^{2}-4-4 h+8-3+4-8}{h} \)
\( m=\frac{2 h+3 h^{2}}{h}=\frac{h \cdot(2+3 h)}{h}=2+3 h \quad \lim \limits_{h \rightarrow 0} 2+3 h=2 \)

2.)
\( \begin{array}{l} m=\frac{f(2+h)-f(2)}{2+h-2}=\frac{-4 \cdot(2+h)^{2}+2 \cdot(2+h)-5-\left(-4 \cdot 2^{2}+2 \cdot 2-5\right)}{h} \\ m=\frac{-4 \cdot\left(4+4 h+h^{2}\right)+4+2 h-5+16-4+5}{h} \\ m=\frac{-16-16 h-4 h^{2}+4+2 h-5+16-4+5}{h} \\ m=\frac{-14 h-4 h^{2}}{h}=\frac{h \cdot(-14-4 h)}{h}=-14-4 \mathrm{~h} \quad \lim \limits_{h \rightarrow 0}-14-4 \mathrm{~h}=-14 \end{array} \)

3.)
\( \begin{array}{l} m=\frac{f(4+h)-f(4)}{4+h-4}=\frac{0,5 \cdot(4+h)^{3}+(4+h)-\left(0,5 \cdot 4^{3}+4\right)}{h} \\ m=\frac{0,5 \cdot\left(64+3 \cdot 16 h+3 \cdot 4 h^{2}+h^{3}\right)+(4+h)-36}{h} \\ m=\frac{32+24 h+6 h^{2}+0,5 h^{3}+4+h-36}{h} \\ m=\frac{25 h+6 h^{2}+0,5 h^{3}}{h}=\frac{h \cdot\left(25+6 h+0,5 h^{2}\right)}{h}=25+6 h+0,5 h^{2} \lim \limits_{h \rightarrow 0} 25+6 h+0,5 h^{2}=25 \end{array} \)

4.) \( m=\frac{f(-1+h)-f(-1)}{-1+h-(-1)}=\frac{(-1+h)^{3}-2 \cdot(-1+h)^{2}-\left((-1)^{3}-2 \cdot(-1)^{2}\right)}{h} \)
\( m=\frac{-1+3 \cdot(-1)^{2} \cdot h+3 \cdot(-1) \cdot h^{2}+h^{3}-2 \cdot\left(1-2 h+h^{2}\right)+3}{h} \)
\( m=\frac{-1+3 h-3 h^{2}+h^{3}-2+4 h-2 h^{2}+3}{h} \)
\( m=\frac{7 h-5 h^{2}+h^{3}}{h}=\frac{h \cdot\left(7-5 h+h^{2}\right)}{h}=7-5 h+h^{2} \quad \lim \limits_{h \rightarrow 0} 7-5 h+h^{2}=7 \)

Answer 1

Das Grüne wäre doch wunderbar.

Für h --> 0 ergibt sich nun die Steigung m=10 + 0 = 10.

Aber: In der 3. Zeile, wo du rumgestrichen hast, müsste -4 -4h stehen.

D.h. du hast -4 verloren.

Ausserdem ist 6h - 4h = 2h und nicht 10 h.