Absolute Konvergenz einer Reihe

Question

Ich habe eine Frage zu einer Aufgabe:

Man soll bestimmen, ob folgende Reihe (absolut) konvergiert.

\(\sum _{k=2}^{\infty}{\frac{sin\big(\frac{k\pi}{2}\big)}{ln(k)}}\)

Ich habe gezeigt, dass die Reihe mit dem Leibniz-Kriterium konvergiert.

Mit der absoluten Konvergenz klappt es nicht. Eine Abschätzung ist mir nicht gelungen und mit dem Quotientenkriterium komme ich auch nicht weiter.

\(\Bigg\vert\dfrac{\frac{sin\big(\frac{(k+1)\pi}{2}\big)}{ln(k+1)}}{\frac{sin\big(\frac{k\pi}{2}\big)}{ln(k)}}\Bigg|\) = \(\Bigg\vert\dfrac{sin\big(\frac{(k+1)\pi}{2}\big)ln(k)}{sin\big(\frac{k\pi}{2}\big)ln(k+1)}\Bigg\vert\)

Außerdem habe ich noch eine Frage. Ist der \(\lim_{k \to \infty} \frac{ln(k+1)}{ln(k)}=1\)? Die Steigung wird ja immer weniger.

Danke.

Answer 1

da wirst du dich noch in den Wahnsinn suchen, denn die Reihe konvergiert nämlich nicht absolut. Abschätzung ist hier ein gutes Stichwort. Ich würde dir das Minorantenkriterium vorschlagen, aber vorher eine einfache Überlegung:

$$ \sum_{k=2}^{\infty} \left | \frac{ \sin \left( \frac{k\pi}{2} \right)}{ \ln(k) } \right | = \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{\ln (2k-1)}$$

Jetzt sollte die Abschätzung und die Anwendung des Minorantenkriterium nicht mehr so schwer fallen. Falls dir die Umformung Schwierigkeiten bereitet schau dir genau an welche Werte wann im Zähler auftreten.

Gruß

Comments

Danke, hab nicht daran gedacht, dass man es so schreiben kann (wegen der Nullen), aber da es eine unendliche Summe ist, ist es wohl richtig. Ich habe dann umgeformt:

\(\sum_{k=2}^{\infty}{\frac{1}{ln(2k-1)}}>\sum_{k=2}^{\infty}{\frac{1}{ln(2k)}}\ge\frac{1}{2}\sum_{k=2}^{\infty}{\frac{1}{n}}\to\infty\)

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Und fertig bist du :)