Question

 Eine Tasse kochendheißer Kaffee (100° C) kühlt bei Zimmertemperatur (20° C) in 10 Minuten auf 30° C ab.

1. Die Temperatur nach t Minuten wird durch die Gleichung T(t) = 20 + (T₀ - 20)·e^-λt angegeben. Berechne die Konstante λ!
2. Frau M mischt den Kaffee mit der gleichen Menge Milch aus dem Kühlschrank (4° C). Sie hat zwei Möglichkeiten:
3. die Milch sofort dazugeben, danach 3 Minuten warten
4. die Milch erst nach 3 Minuten dazugeben
Welche Temperatur hat der Milchkaffee in beiden Fällen?(Die Temperatur der Mischung ist der Mittelwert der einzelnen Temperaturen: T = (T1 + T2)/2.)

Answer 1

Gleichung T(t) = 20 + (T₀ - 20)·e^-λt angegeben. Berechne die Konstante λ!
T(10) = 20 + (100-20)*e^{-λ*10} = 30
                                         e^{-λ*10}=1/8 

                                                  -λ*10=ln(1/8) 

                                                  λ = ln(1/8)/ (-10) = 0,2079

4.  nach 3 Min   T(3) = 62,88°    Mischungstemp   (62,88+4)/2 = 33,44°

3. erst Mischen 104/2 = 52°

Dann T(t) = 20 + (52 - 20)·e^-0,2079t    also T(3)= 37,15° 

Erscheint auch logisch: Der heiße Kaffee kühlt schneller ab als die wame Mischung.

Answer 2

1.) T₀= 100, also:

T(t)= 20+80e^-λt 

30= 20+80e^-λ10          I -20

10= 80e^-λ10                I :80

1/8 = e^-λ10                      I ()1/10

0,81 = e^-λ                                I ln()

λ= ln (1/ 0,81) ≈ 0,2

Comments

Wie komme ich im vorletzten Schritt auf () 1/10?

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1/8 = e^{- λ·10}

1/8 = (e^{- λ})^10

Man zieht auf beiden Seiten die 10 Wurzel

(1/8)^{1/10} = e^{- λ}