Wie kühlt Kaffee am schnellsten ab? (LÖSUNG?)

Question

wir haben in Mathe das Thema Potenzen und haben folgende Aufgabe erhalten:

>Für Kaffeetrinker stellt sich oft die Frage: Wird Kaffee schneller kalt, wenn ich die Milch direkt hineinschütte, oder wenn ich sie später dazugebe?

Die Differenz zwischen Temperatur des Kaffees und der Raumtemperatur sinkt pro Minute prozentual abhängig von der Menge des Kaffees:

Jemand trinkt 100ml Kaffee mit 100ml Milch (die Mischung ist natürlich Geschmackssache uund hier der Einfachheit halber so gewählt). Der Kaffeehat eine Temperatur von 70°C, die Milch hat Raumtemperatur (20°C).

Wie erreicht der Kaffetrinkerschneller eine Kaffeetemperaturvon 40°C, wenn er den Kaffee zunächst so abkühlen lässt und die Milch so spät wie möglich hinzuschüttet, oder, wenn er den Kaffeesofort mit der Milch vermischt?<

Weitere Angaben haben wir nicht bekommen. Ich würde mich sehr über eine Antwort freuen.

Comments

Die Differenz zwischen Temperatur des Kaffees und der Raumtemperatur sinkt pro Minute prozentual abhängig von der Menge des Kaffees

Hast Du Dir das selber ausgedacht? Es klingt für mich wie reiner Bloedsinn. :)

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Fakename,
mach einmal die Augen auf und
schau unter " ähnliche Fragen "
weiter unten.
Ansonsten gib bei Google einmal
" newton Abkühlungsgesetz " ein.

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? Fakename hat vollkommen recht, was da steht ist leider falsch.

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@fakename: Wenn du annimmst, dass einer versucht hat eine Frage anders zu formulieren, damit er kein Plagiat erstellt, kannst du ihm doch helfen diesen Satz besser zu formulieren. Oder?

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Tatsaechlich gehe ich bloss davon aus, dass der Fragesteller die ihm gestellte Aufgabe ueberhaupt nicht kapiert, ja nicht einmal richtig gelesen, und dann hier eine halb abgeschriebene, halb selber zusammengereimte Nonsense-Version eingestellt hat.

Answer 1

Weil der Kaffee am schnellsten abkühlt wenn die Differenz zur Umgebungstemperatur möglichst groß ist. Daher sollte man die Milch so spät wie möglich dazuschütten.

Möchte man also eine Temperatur von 40 Grad erreichen dann lässt man den Kaffee zunächst auf 60 Grad abkühlen und kippt dann die Milch dazu. Dann hat man eine Temperatur von 40 Grad zum trinken.

Comments

Hallo coach, ich bin mir nicht sicher ob deine
Antwort pauschal so stimmt

a.) Steiler Abfall zwischen 70 und 60 Grad, dann kann gemixt werden.
Die Zeit dafür f ^{-1} ( 70 ) - f ^{-1} ( 60 )

b.) Milch hinzufügen : die Mischtemperatur beträgt 45 Grad
f  ^{-1} ( 45 ) - f ^{-1} ( 40 )

Ist die Zeit für b.) immer länger als die Zeit für a.) ???

mfg Georg

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Ist die Zeit für b.) immer länger als die Zeit für a.) ??? 

Ist doch eine gute Aufgabe für dich dieses zu zeigen oder zu widerlegen.

Vom Logischen Standpunkt gesehen ohne zu rechnen. Der Kaffee hat zu Anfang eine bestimmte Menge an Wärmeenergie. Allein durch das Mischen geht keine Energie verloren. Energieerhaltungssatz.

Da der Kaffee aber Kühler werden soll muss Wärmeenergie an die Umgebung abgegeben werden. Und zwar die Gleiche Menge egal ob ich vorher Mische oder nachher.

Da auf jeden Fall mehr Wärmeenergie pro Zeit abgegeben wird je höher der Unterschied der Temperaturen ist sollte der Kaffee zunächst abkühlen und am Ende gemischt werden.

Sollte ich da einen Denkfehler haben bitte melden. Ich sehe keinen.

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@Mathecoach:

Der Anfang stimmt mE. Voraussetzung. Die Umgebung ist gross genug, dass ihre Temperatur nicht steigt und die Milch steht weit genug vom Kaffee entfernt.

Der Rest stimmt vielleicht ungefähr.

" Möchte man also eine Temperatur von 40 Grad erreichen dann lässt man den Kaffee zunächst auf 60 Grad abkühlen und kippt dann die Milch dazu. Dann hat man eine Temperatur von 40 Grad zum trinken."

Hier rechnest du damit, dass man am Schluss gleich viel Milch wie Kaffee in der Tasse hat. 

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Jemand trinkt 100ml Kaffee mit 100ml Milch.

Klingt so als wenn Milch und Kaffee im Mischverhältnis 1:1 stehen sollen.

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Da hast du natürlich recht.

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Die Differenz zwischen Temperatur des Kaffees
und der Raumtemperatur sinkt pro Minute prozentual
abhängig von der Menge des Kaffees:

Diese Aussage ist sicherlich nicht zutreffend bzw
wurde auch in keiner der hier vorgestellten
Berechungsweisen bisher berücksichtigt.

ich schlage auch vor wir lassen dies bei
den weiteren Diskussionen unberücksichtigt.

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Wenn man spitzfindig sein würde würde man eh behaupten man hat eh immer die gleiche Menge Kaffee :) Nämlich 100 ml.

Wie wir alle wissen geben sich die Fragesteller meist nicht mal die Mühe eine Frage vollständig und fehlerfrei wiederzugeben.

Man kann als Beantworter meist nur interpolieren was mit der Frage wohl meist ganz genau gemeint gewesen ist.

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@coach
Sollte ich da einen Denkfehler haben bitte melden.
Ich sehe keinen.

Ich aber.
Ich habe eine beliebige Abkühlungformel gewählt.

f ( 0 ) = 70 °
f ( 0.72 ) = 60 °
Mixen mit 20 °
nach 0.72 min hat der Kaffee 40 ° erreicht

oder
mixen mit 20 °. Der Kaffee hat nunmehr 45 °.
f (  2.15 ) = 45 °
f ( 2.78 ) = 40 °
nach 0.63 min hat der Kaffee 40 ° erreicht

Variante b. wäre in diesem Fall schneller.

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"nach 0.63 min hat der Kaffee 40° erreicht."

Das ist nicht richtig. Die "Abkühlungsfunktion" ändert sich nach Hinzugabe der Milch.

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Darfst du hier als Umgeburgstemeratur einfach 10 Grad nehmen ?

Meine Rechnung:

50·EXP(-0.25·x) + 20 = 60 --> x = 0.8925742052

25·EXP(-0.25·x) + 20 = 40 --> x = 0.8925742052

Demnach wäre es mit diesen Werten egal ob man vorher oder nachher mischt.

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Mmmm, die Lösung scheint abhängig von der Temperatur der Milch und der Außentemeratur zu sein.

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Nicht wirklich wenn die Milch die Temperatur der Umgebung haben soll.

Ansonsten würde die Milch ja sich auch noch einzeln abkühlen oder erwärmen.

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Hallo coach,

zur Information : ich lese die Beiträge von
bestimmten Personen nicht mehr und kann / werde
aufgrunddessen auch nicht darauf eingehen.

Wenn wir weiter diskutieren wollen dann auf Grundlage
meines letzten Kommentars.

Ich habe für das Beispiel die Funktion unter
" ähnliche Fragen " verwendet und für f ( 0 ) = 70
modifiziert. Die Raummtemperatur 20  ° wurde dabei
nicht  getroffen.

Es ging auch nur darum zu zeigen das eine
Temperaturabnahme von 10 ° bei 70 ° langsamer
verlaufen kann als eine Temperturabnahme von
5 ° bei 45 °.

Ist in meiner Rechnung ein Fehler ?

Ich denke ich kann auch eine Funktion ent-
wicklen welche allen Vorgaben in der Frage
entspricht.

Answer 2

$$ T(t)= { T }_{ L }+({ T }_{ 0 }-{ T }_{ L })e^{-\lambda t},\lambda>0\\\text{Variante (a): erst abkühlen, dann Milch hinzugeben}\\T({ t }_{ 1 })={ T }_{ L }+({ T }_{ 0 }-{ T }_{ L })e^{-\lambda { t }_{ 1 }}\\\text{Milch hinzugeben:}\\T'({ t }_{ 1 })=\frac { { T }_{ L }+({ T }_{ 0 }-{ T }_{ L })e^{-\lambda { t }_{ 1 }}+{ T }_{ M } }{ 2 }\\\text{Variante (b): erst Milch hinzugeben, dann abkühlen lassen}\\T''(t)={ T }_{ L }+(\frac { { T }_{ 0 }+{ T }_{ M } }{ 2 }-{ T }_{ L })e^{-\lambda t}\\T''({ t }_{ 1 })={ T }_{ L }+(\frac { { T }_{ 0 }+{ T }_{ M } }{ 2 }-{ T }_{ L })e^{-\lambda{ t }_{ 1 } }\\T''({ t }_{ 1 })-T'({ t }_{ 1 })={ T }_{ L }+(\frac { { T }_{ 0 }+{ T }_{ M } }{ 2 }-{ T }_{ L })e^{-\lambda{ t }_{ 1 } }-[\frac { { T }_{ L }+({ T }_{ 0 }-{ T }_{ L })e^{-\lambda { t }_{ 1 }}+{ T }_{ M } }{ 2 }]\\=\frac { 1 }{ 2 }({ T }_{ M }-{ T }_{ L })(1-e^{\lambda { t }_{ 1 }}) $$

Ist nun die Milchtemperatur T_m größer der Außentemperatur T_L, so ist die Temperaturdifferenz positiv und daher Variante a) in diesem Falle günstiger.

(also erst abkühlen lassen und dann Milch dazu).

Ist die Milchtemperatur kleiner als die Außentemperatur, dann ist Variante b) günstiger.

Sind beide Temperaturen gleich, dann macht es keinen Unterschied welche Reihenfolge man wählt.

Comments

Überzeugende Rechnung.

Mein Einwand:

Das lambda im Abkühlungsgesetz bleibt gleich solange die Form, die Oberfläche und das Material gleich bleiben.

Was passiert genau, wenn man 100ml Milch zum Kaffee dazugibt?

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Ja, es handelt sich hierbei um vereinfachte Annahmen.

- die spezifische Wärmekapzität von Milch und Kaffee (Wasser) sind nicht gleich, daher stellt sich als Mischtemperatur nicht genau die mittlere Temperatur ein

- bei der Mischung erhöhen sich Masse und Oberfläche des Gemisches sowie die Wärmekapazität,       daher ändert sich λ (je nachdem wieviel Milch man hinzugibt)

Das habe ich vernachlässigt.

Answer 3

Ich reduziere einmal die Frage auf das mathematisch
Wesentliche.

Gegeben
Anfangstemperatur : 70 °
Raumtemperatur 20 °
Der Kaffee soll über soll über eine Exponentialfunktion
abkühlen.

t : Zeit
T : Temperatur
Funktion T ( t ) = 20 + 50 * e ^{-k*t}
Umkehrfunktion
t  ( T ) = - ln  [ ( T - 20 ) / 50 ] * 1/k

gewünschte Temperatur bei 40 °
Die Menge der Abkühlungflüssigkeit soll
der Menge des Kaffees entsprechen

2 Fälle sollen untersucht werden

Direkte Zugabe der Abkühlungflüssigkeit
Mischtemperatur = ( 70 + 20 ) / 2 = 45
Der Kaffee kühlt dann von 45 auf 40 Grad ab.
Zeit
t  ( 40 ) = - ln  [ ( 40 - 20 ) / 50 ] * 1/k = 0.916 * 1/k
t  ( 40 ) = = 0.916 * 1/k
t  ( 45 ) = - ln  [ ( 45 - 20 ) / 50 ] * 1/k = 0.916 * 1/k
t  ( 45 ) = = 0..633 * 1/k
Δ t = 0.223 * 1/k

Abkühlung von 70 auf 60 Grad dann Zugabe
der Abkühlungflüssigkeit
t ( 70 ) = 0
t ( 60 ) = 0.223 * 1/k
Δ t = 0.223 * 1/k

Nach dieser Rechnung verlaufen beide Abkühl-
varianten gleich schnell.

Irgendwo ein Fehler ?

mfg Georg

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Deine Rechnung ist richtig, gibt einen Daumen von mir