Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau (!) 3 von 25 Leuten am gleichen Tag Geburtstag haben?

Question

Beim Geburtstagsparadoxon geht es ja ganz allgemein um mindestens 2 Personen, was rechnerisch dann stets mit P minus Gegenwahrscheinlichkeit, also dass niemand am selben Tag Geburtstag hat, beantwortet wird. Ich will jetzt allerdings wissen – einfach des mathematischen Verständnisses wegen –, wie hoch die Wahrscheinlichkeit bei 25 Personen für genau 3 Personen (am selben Tag Geburtstag) ist.

Auch habe ich bereits die Wahrscheinlichkeit für genau 2 Personen (am selben Tag Geburtstag) ausgerechnet und würde hier gerne nachfragen, ob die Rechnung mathematisch korrekt ist – abgesehen von ihrer Effizienz.

Genau 2 Personen: $$\frac{\sum \limits_{k=341}^{364}\frac{\frac{365!}{340!}}{k}}{365^{25}}\approx 0,0293765$$  _{(Danke an die kostenlose Version von: Wolfram Alpha)}

Würde mich sehr über eine Lösung, Korrektur oder einen Denkanstoß freuen!

Answer 1

hier mal ein Vorschlag zum Fall genau 2 aus n Personen. Zurück zu den Grundlagen der Wahrscheinlichkeit:

Gehen wir von 365 Tagen im Jahr aus die dieselbe Wahrscheinlichkeit besitzen.

Anzahl der möglichen Fälle: \( 365^n \)

Anzahl der günstigen Fälle:

a) Das zwei aus n Personen am selben Tag Geburtstag haben: \( \binom{n}{2} \cdot 365 \)

b) Die restlichen n-2 Personen an verschiedenen Tagen Geburtstaghaben: \( \frac{364!}{(364 -(n-2))!} \)

Insgesamt also Anzahl der günstigen Fälle: \( \binom{n}{2} \cdot \frac{365!}{(366-n)!} \)

Die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei Personen am selben Tag Geburtstag (Ereignis \(A\) )haben ist die Anzahl der günstigen Fälle durch die Anzahl aller möglichen Fälle:

$$ P(A) = \binom{n}{2} \frac{365!}{(366-n)! \cdot 365^n } $$

Das Prinzip kannst du ja mal versuchen nachzuvollziehen und auf den Fall für 3 Personen anzupassen.

Gruß